Question

5 parte a:
determina cuál de las siguientes funciones cuadráticas no tiene raíces reales.
(a)
a (f(x) = -2x^2 - 12)
b (f(x) = 2x^2 + 12x - 6)
do (f(x) = \text{incógnita}^2 + 7x - 2)
d (f(x) = \text{incógnita}^2 - 3x + 12)

(b) parte b:
explica cómo determinaste qué función no tenía ceros reales.

Explanation:

<pre_analysis>
{
"quality": "clear",
"question_count": 2,
"skills_matched": [
"step_cot",
"explain_then_answer",
"quick"
],
"needs_drawing": false,
"concepts_used": [
"Discriminant",
"Real Roots"
],
"new_concepts": [],
"current_concepts": [
"Discriminant",
"Real Roots",
"Quadratic Equations"
]
}
</pre_analysis>

<reasoning>

Calcular el discriminante de cada función

\[

$$\begin{aligned} &\text{Para } A: F(x) = -2x^2 - 12 \implies a = -2, b = 0, c = -12 \\ &\Delta_A = 0^2 - 4(-2)(-12) = -96 < 0 \\ &\text{Para } B: F(x) = 2x^2 + 12x - 6 \implies a = 2, b = 12, c = -6 \\ &\Delta_B = 12^2 - 4(2)(-6) = 144 + 48 = 192 > 0 \\ &\text{Para } C: F(x) = x^2 + 7x - 2 \implies a = 1, b = 7, c = -2 \\ &\Delta_C = 7^2 - 4(1)(-2) = 49 + 8 = 57 > 0 \\ &\text{Para } D: F(x) = x^2 - 3x + 12 \implies a = 1, b = -3, c = 12 \\ &\Delta_D = (-3)^2 - 4(1)(12) = 9 - 48 = -39 < 0 \end{aligned}$$

\]

Identificar funciones sin raíces reales

\[

$$\begin{aligned} &\Delta < 0 \implies \text{Sin raíces reales} \\ &\Delta_A = -96 < 0 \implies F(x) = -2x^2 - 12 \text{ no tiene raíces reales.} \\ &\Delta_D = -39 < 0 \implies F(x) = x^2 - 3x + 12 \text{ no tiene raíces reales.} \end{aligned}$$

\]

Explicar el criterio del discriminante

\[

$$\begin{aligned} &\text{Una función cuadrática } F(x) = ax^2 + bx + c \text{ no tiene raíces reales si su discriminante es negativo:} \\ &\Delta = b^2 - 4ac < 0 \end{aligned}$$

\]
</reasoning>

<answer>

Question 1

Parte A:
La función cuadrática que no tiene raíces reales es la opción A (y también la opción D, ya que ambas poseen un discriminante negativo).

Nota: En la opción A, \(F(x) = -2x^2 - 12 = 0 \implies x^2 = -6\), lo cual no tiene solución real.

Question 2

Parte B:
Se determina calculando el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) para cada función. Si \(\Delta < 0\), la función no tiene raíces reales.
</answer>

<post_analysis>
{
"subject": "Mathematics",
"question_type": "Multi-part",
"knowledge_point": [
"Mathematics",
"Algebra",
"Discriminant"
]
}
</post_analysis>

Answer:

<pre_analysis>
{
"quality": "clear",
"question_count": 2,
"skills_matched": [
"step_cot",
"explain_then_answer",
"quick"
],
"needs_drawing": false,
"concepts_used": [
"Discriminant",
"Real Roots"
],
"new_concepts": [],
"current_concepts": [
"Discriminant",
"Real Roots",
"Quadratic Equations"
]
}
</pre_analysis>

<reasoning>

Calcular el discriminante de cada función

\[

$$\begin{aligned} &\text{Para } A: F(x) = -2x^2 - 12 \implies a = -2, b = 0, c = -12 \\ &\Delta_A = 0^2 - 4(-2)(-12) = -96 < 0 \\ &\text{Para } B: F(x) = 2x^2 + 12x - 6 \implies a = 2, b = 12, c = -6 \\ &\Delta_B = 12^2 - 4(2)(-6) = 144 + 48 = 192 > 0 \\ &\text{Para } C: F(x) = x^2 + 7x - 2 \implies a = 1, b = 7, c = -2 \\ &\Delta_C = 7^2 - 4(1)(-2) = 49 + 8 = 57 > 0 \\ &\text{Para } D: F(x) = x^2 - 3x + 12 \implies a = 1, b = -3, c = 12 \\ &\Delta_D = (-3)^2 - 4(1)(12) = 9 - 48 = -39 < 0 \end{aligned}$$

\]

Identificar funciones sin raíces reales

\[

$$\begin{aligned} &\Delta < 0 \implies \text{Sin raíces reales} \\ &\Delta_A = -96 < 0 \implies F(x) = -2x^2 - 12 \text{ no tiene raíces reales.} \\ &\Delta_D = -39 < 0 \implies F(x) = x^2 - 3x + 12 \text{ no tiene raíces reales.} \end{aligned}$$

\]

Explicar el criterio del discriminante

\[

$$\begin{aligned} &\text{Una función cuadrática } F(x) = ax^2 + bx + c \text{ no tiene raíces reales si su discriminante es negativo:} \\ &\Delta = b^2 - 4ac < 0 \end{aligned}$$

\]
</reasoning>

<answer>

Question 1

Parte A:
La función cuadrática que no tiene raíces reales es la opción A (y también la opción D, ya que ambas poseen un discriminante negativo).

Nota: En la opción A, \(F(x) = -2x^2 - 12 = 0 \implies x^2 = -6\), lo cual no tiene solución real.

Question 2

Parte B:
Se determina calculando el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) para cada función. Si \(\Delta < 0\), la función no tiene raíces reales.
</answer>

<post_analysis>
{
"subject": "Mathematics",
"question_type": "Multi-part",
"knowledge_point": [
"Mathematics",
"Algebra",
"Discriminant"
]
}
</post_analysis>