Question

approximating powers of numbers less than one
the $r^{th}$ term in the binomial expansion of $(a + b)^n$: $_nc_{r - 1}a^{n-(r - 1)}b^{r - 1}$
evaluate the first four terms in the binomial expansion $(1+(-0.02))^5$.
$1^{st}$ term =
$2^{nd}$ term =
$3^{rd}$ term =
$4^{th}$ term =

Explanation:

Explicación:

Paso 1: Fórmula del binomio de Newton

La expansión binomial de \((a + b)^n=\sum_{r = 1}^{n + 1}{}_{n}C_{r - 1}a^{n-(r - 1)}b^{r - 1}\), donde \({}_{n}C_{r-1}=\frac{n!}{(r - 1)!(n-(r - 1))!}\). Aquí \(a = 1\), \(b=-0.02\) y \(n = 5\).

Paso 2: Primer término (\(r = 1\))

Para \(r = 1\), \({}_{5}C_{0}=\frac{5!}{0!(5-0)!}=1\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{5-0}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{0}=1\). Entonces el primer término es \({}_{5}C_{0}\times1^{5}\times(-0.02)^{0}=1\).

Paso 3: Segundo término (\(r = 2\))

Para \(r = 2\), \({}_{5}C_{1}=\frac{5!}{1!(5 - 1)!}=\frac{5!}{1!4!}=5\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{4}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{1}=-0.02\). Entonces el segundo término es \({}_{5}C_{1}\times1^{4}\times(-0.02)^{1}=5\times(-0.02)=-0.1\).

Paso 4: Tercer término (\(r = 3\))

Para \(r = 3\), \({}_{5}C_{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{3}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{2}=0.0004\). Entonces el tercer término es \({}_{5}C_{2}\times1^{3}\times(-0.02)^{2}=10\times0.0004 = 0.004\).

Paso 5: Cuarto término (\(r = 4\))

Para \(r = 4\), \({}_{5}C_{3}=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=10\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{2}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{3}=-0.000008\). Entonces el cuarto término es \({}_{5}C_{3}\times1^{2}\times(-0.02)^{3}=10\times(-0.000008)=-0.00008\).

Respuesta:

1º término = \(1\)
2º término = \(-0.1\)
3º término = \(0.004\)
4º término = \(-0.00008\)

Answer:

Explicación:

Paso 1: Fórmula del binomio de Newton

La expansión binomial de \((a + b)^n=\sum_{r = 1}^{n + 1}{}_{n}C_{r - 1}a^{n-(r - 1)}b^{r - 1}\), donde \({}_{n}C_{r-1}=\frac{n!}{(r - 1)!(n-(r - 1))!}\). Aquí \(a = 1\), \(b=-0.02\) y \(n = 5\).

Paso 2: Primer término (\(r = 1\))

Para \(r = 1\), \({}_{5}C_{0}=\frac{5!}{0!(5-0)!}=1\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{5-0}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{0}=1\). Entonces el primer término es \({}_{5}C_{0}\times1^{5}\times(-0.02)^{0}=1\).

Paso 3: Segundo término (\(r = 2\))

Para \(r = 2\), \({}_{5}C_{1}=\frac{5!}{1!(5 - 1)!}=\frac{5!}{1!4!}=5\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{4}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{1}=-0.02\). Entonces el segundo término es \({}_{5}C_{1}\times1^{4}\times(-0.02)^{1}=5\times(-0.02)=-0.1\).

Paso 4: Tercer término (\(r = 3\))

Para \(r = 3\), \({}_{5}C_{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{3}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{2}=0.0004\). Entonces el tercer término es \({}_{5}C_{2}\times1^{3}\times(-0.02)^{2}=10\times0.0004 = 0.004\).

Paso 5: Cuarto término (\(r = 4\))

Para \(r = 4\), \({}_{5}C_{3}=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=10\), \(a^{n-(r - 1)}=1^{2}=1\), \(b^{r - 1}=(-0.02)^{3}=-0.000008\). Entonces el cuarto término es \({}_{5}C_{3}\times1^{2}\times(-0.02)^{3}=10\times(-0.000008)=-0.00008\).

Respuesta:

1º término = \(1\)
2º término = \(-0.1\)
3º término = \(0.004\)
4º término = \(-0.00008\)