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Question
3.4 worksheet
find the slope of the line that passes through the points.
1.
2.
3.
find the slope of each line. are the lines parallel?
4.
5.
6.
find the slope of each line. are the lines perpendicular?
7.
8.
9.
Explicación:
Paso 1: Recordar la fórmula de la pendiente
La fórmula para calcular la pendiente $m$ de una línea que pasa por dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Para resolver cada problema, primero identificaremos las coordenadas de los dos puntos dados en el gráfico y luego usaremos la fórmula de la pendiente.
Problema 1:
Supongamos que el punto $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$. Observando el gráfico, si $A=(1,2)$ y $B=(1,0)$:
$m=\frac{0 - 2}{1 - 1}=\frac{- 2}{0}$, la pendiente es indefinida (ya que la línea es vertical).
Problema 2:
Si $A=(1,0)$ y $B=(-1,1)$
$m=\frac{1 - 0}{-1 - 1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
Problema 3:
Si $A=(-1,1)$ y $B=(1,1)$
$m=\frac{1 - 1}{1-(-1)}=\frac{0}{2}=0$ (ya que la línea es horizontal)
Problema 4:
Para la línea $AB$: si $A=(0,2)$ y $B=(-2,0)$
$m_{AB}=\frac{0 - 2}{-2 - 0}=\frac{-2}{-2}=1$
Para la línea $CD$: si $C=(1,0)$ y $D=(2,1)$
$m_{CD}=\frac{1 - 0}{2 - 1}=1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=1$
Problema 5:
Para la línea $AB$: si $A=(0,1)$ y $B=(2,3)$
$m_{AB}=\frac{3 - 1}{2 - 0}=\frac{2}{2}=1$
Para la línea $CD$: si $C=(2,0)$ y $D=(0,-2)$
$m_{CD}=\frac{-2 - 0}{0 - 2}=\frac{-2}{-2}=1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=1$
Problema 6:
Para la línea $AB$: si $A=(-1,0)$ y $B=(1,-2)$
$m_{AB}=\frac{-2 - 0}{1-(-1)}=\frac{-2}{2}=-1$
Para la línea $CD$: si $C=(1,0)$ y $D=(-1,2)$
$m_{CD}=\frac{2 - 0}{-1 - 1}=\frac{2}{-2}=-1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=-1$
Problema 7:
Para la línea $AB$: si $A=(1,2)$ y $B=(0,-1)$
$m_{AB}=\frac{-1 - 2}{0 - 1}=\frac{-3}{-1}=3$
Para la línea $CD$: si $C=(-2,2)$ y $D=(-1,0)$
$m_{CD}=\frac{0 - 2}{-1-(-2)}=\frac{-2}{1}=-2$
Las líneas no son perpendiculares ni paralelas.
Problema 8:
Para la línea $AB$: si $A=(0,-1)$ y $B=(1,1)$
$m_{AB}=\frac{1-(-1)}{1 - 0}=\frac{2}{1}=2$
Para la línea $CD$: si $C=(-2,0)$ y $D=(-1,-2)$
$m_{CD}=\frac{-2 - 0}{-1-(-2)}=\frac{-2}{1}=-2$
Las líneas no son perpendiculares (ya que $m_{AB}\times m_{CD}=2\times(-2)= - 4
eq - 1$) ni paralelas.
Problema 9:
Para la línea $AB$: si $A=(-1,-1)$ y $B=(1,2)$
$m_{AB}=\frac{2-(-1)}{1-(-1)}=\frac{3}{2}$
Para la línea $CD$: si $C=(1,-1)$ y $D=(-1,2)$
$m_{CD}=\frac{2-(-1)}{-1 - 1}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$
Las líneas no son perpendiculares (ya que $m_{AB}\times m_{CD}=\frac{3}{2}\times(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{4}
eq - 1$) ni paralelas.
Respuesta:
- Pendiente indefinida
- $-\frac{1}{2}$
- $0$
- $m_{AB}=1$, $m_{CD}=1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=1$, $m_{CD}=1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=-1$, $m_{CD}=-1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=3$, $m_{CD}=-2$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares
- $m_{AB}=2$, $m_{CD}=-2$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares
- $m_{AB}=\frac{3}{2}$, $m_{CD}=-\frac{3}{2}$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares
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Explicación:
Paso 1: Recordar la fórmula de la pendiente
La fórmula para calcular la pendiente $m$ de una línea que pasa por dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ es $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Para resolver cada problema, primero identificaremos las coordenadas de los dos puntos dados en el gráfico y luego usaremos la fórmula de la pendiente.
Problema 1:
Supongamos que el punto $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$. Observando el gráfico, si $A=(1,2)$ y $B=(1,0)$:
$m=\frac{0 - 2}{1 - 1}=\frac{- 2}{0}$, la pendiente es indefinida (ya que la línea es vertical).
Problema 2:
Si $A=(1,0)$ y $B=(-1,1)$
$m=\frac{1 - 0}{-1 - 1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
Problema 3:
Si $A=(-1,1)$ y $B=(1,1)$
$m=\frac{1 - 1}{1-(-1)}=\frac{0}{2}=0$ (ya que la línea es horizontal)
Problema 4:
Para la línea $AB$: si $A=(0,2)$ y $B=(-2,0)$
$m_{AB}=\frac{0 - 2}{-2 - 0}=\frac{-2}{-2}=1$
Para la línea $CD$: si $C=(1,0)$ y $D=(2,1)$
$m_{CD}=\frac{1 - 0}{2 - 1}=1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=1$
Problema 5:
Para la línea $AB$: si $A=(0,1)$ y $B=(2,3)$
$m_{AB}=\frac{3 - 1}{2 - 0}=\frac{2}{2}=1$
Para la línea $CD$: si $C=(2,0)$ y $D=(0,-2)$
$m_{CD}=\frac{-2 - 0}{0 - 2}=\frac{-2}{-2}=1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=1$
Problema 6:
Para la línea $AB$: si $A=(-1,0)$ y $B=(1,-2)$
$m_{AB}=\frac{-2 - 0}{1-(-1)}=\frac{-2}{2}=-1$
Para la línea $CD$: si $C=(1,0)$ y $D=(-1,2)$
$m_{CD}=\frac{2 - 0}{-1 - 1}=\frac{2}{-2}=-1$
Las líneas son paralelas porque $m_{AB}=m_{CD}=-1$
Problema 7:
Para la línea $AB$: si $A=(1,2)$ y $B=(0,-1)$
$m_{AB}=\frac{-1 - 2}{0 - 1}=\frac{-3}{-1}=3$
Para la línea $CD$: si $C=(-2,2)$ y $D=(-1,0)$
$m_{CD}=\frac{0 - 2}{-1-(-2)}=\frac{-2}{1}=-2$
Las líneas no son perpendiculares ni paralelas.
Problema 8:
Para la línea $AB$: si $A=(0,-1)$ y $B=(1,1)$
$m_{AB}=\frac{1-(-1)}{1 - 0}=\frac{2}{1}=2$
Para la línea $CD$: si $C=(-2,0)$ y $D=(-1,-2)$
$m_{CD}=\frac{-2 - 0}{-1-(-2)}=\frac{-2}{1}=-2$
Las líneas no son perpendiculares (ya que $m_{AB}\times m_{CD}=2\times(-2)= - 4
eq - 1$) ni paralelas.
Problema 9:
Para la línea $AB$: si $A=(-1,-1)$ y $B=(1,2)$
$m_{AB}=\frac{2-(-1)}{1-(-1)}=\frac{3}{2}$
Para la línea $CD$: si $C=(1,-1)$ y $D=(-1,2)$
$m_{CD}=\frac{2-(-1)}{-1 - 1}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$
Las líneas no son perpendiculares (ya que $m_{AB}\times m_{CD}=\frac{3}{2}\times(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{4}
eq - 1$) ni paralelas.
Respuesta:
- Pendiente indefinida
- $-\frac{1}{2}$
- $0$
- $m_{AB}=1$, $m_{CD}=1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=1$, $m_{CD}=1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=-1$, $m_{CD}=-1$, las líneas son paralelas
- $m_{AB}=3$, $m_{CD}=-2$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares
- $m_{AB}=2$, $m_{CD}=-2$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares
- $m_{AB}=\frac{3}{2}$, $m_{CD}=-\frac{3}{2}$, las líneas no son paralelas ni perpendiculares