Question

unit 2 study guide

1. the polynomial p is a function of x. the graph of p has zeros at 4, $\frac{1}{2}$, 0, and - 5. indicate whether or not each expression could represent p. shade or circle the correct expression(s).

$(x - 4)(2x - 1)(x + 5)$ $7x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)$ $x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)$
$-x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)$ $-7x(x - 4)(x-\frac{1}{2})(x + 5)$ $(x - 4)(2x - 1)(x + 5)^2$

1. let $r(x)=4(2x - 9)(x + 1)(x - 8)^2$ be a polynomial function.

i. list all the x and y - intercepts of the graph.
ii. (fill in the blank) as the inputs approach negative infinity, the output approaches __________. as the inputs approach positive infinity, the outputs approach __________.
iii. sketch the graph of the polynomial function. identify the correct intercepts, positive/negative intervals, end behavior, and any multiplicities

Explanation:

3.

Step1: Recordar la forma factoreada de un polinomio

Si un polinomio \(p(x)\) tiene ceros en \(x = a_1,a_2,\cdots,a_n\), entonces \(p(x)=k(x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)\), donde \(k\) es una constante no - cero. Los ceros dados son \(x = 4,\frac{1}{2},0,- 5\).

Step2: Analizar cada expresión

• Para \((x - 4)(2x - 1)(x + 5)\): Si \(x = 4\), entonces \((4 - 4)(2\times4 - 1)(4 + 5)=0\); si \(x=\frac{1}{2}\), entonces \((\frac{1}{2}-4)(2\times\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+5)=0\); si \(x=-5\), entonces \((-5 - 4)(2\times(-5)-1)(-5 + 5)=0\), pero falta el cero \(x = 0\), así que no representa \(p\).
• Para \(7x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)\): Los ceros son \(x = 0,x=-4,x=-\frac{1}{2},x = 5\), no son los ceros dados, no representa \(p\).
• Para \(x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)\): Los ceros son \(x = 0,x=-4,x=-\frac{1}{2},x = 5\), no son los ceros dados, no representa \(p\).
• Para \(-x(x + 4)(2x + 1)(x - 5)\): Los ceros son \(x = 0,x=-4,x=-\frac{1}{2},x = 5\), no son los ceros dados, no representa \(p\).
• Para \(-7x(x - 4)(x-\frac{1}{2})(x + 5)\): Tiene ceros en \(x = 0,x = 4,x=\frac{1}{2},x=-5\), representa \(p\) (ya que \(k=-7\)).
• Para \((x - 4)(2x - 1)(x + 5)^2\): Tiene ceros en \(x = 4,x=\frac{1}{2},x=-5\), falta el cero \(x = 0\), no representa \(p\).

Step1: Encontrar los interceptos \(x\)

Para encontrar los interceptos \(x\) de \(r(x)=4(2x - 9)(x + 1)(x - 8)^2\), se establece \(r(x)=0\).
\(2x-9 = 0\) da \(x=\frac{9}{2}\); \(x + 1=0\) da \(x=-1\); \((x - 8)^2=0\) da \(x = 8\). Los interceptos \(x\) son \(x=-1,x=\frac{9}{2},x = 8\).

Step2: Encontrar el intercepto \(y\)

Para encontrar el intercepto \(y\), se establece \(x = 0\). Entonces \(r(0)=4(2\times0 - 9)(0 + 1)(0 - 8)^2=4\times(-9)\times1\times64=-2304\).

Step1: Expandir el polinomio (o analizar el grado y el coeficiente principal)

El polinomio \(r(x)=4(2x - 9)(x + 1)(x - 8)^2\) es de grado \(4\) (ya que \((2x-9)\) es de grado 1, \((x + 1)\) es de grado 1 y \((x - 8)^2\) es de grado 2, y \(1+1 + 2=4\)) y el coeficiente principal es positivo (al expandir \(4\times2\times1\times1 = 8>0\)).

Step2: Determinar el comportamiento final

Para un polinomio \(y = a_nx^n+\cdots+a_0\) con \(n\) par y \(a_n>0\), cuando \(x\to-\infty\), \(y\to+\infty\) y cuando \(x\to+\infty\), \(y\to+\infty\).

Answer:

\(-7x(x - 4)(x-\frac{1}{2})(x + 5)\)

4.

i.