Question

rectangle abcd is the image of rectangle abcd after it has been translated according to the rule t_{-4,3}(x,y) which points are vertices of the pre - image, rectangle abcd? select four options (-1,-2) (7,1) (-1,7) (-1,1) (7,-2)

Explanation:

Step1: Aplicar la regla inversa de traducción

La regla de traducción es \(T_{-4,3}(x,y)=(x - 4,y + 3)\). La regla inversa para encontrar el pre - imagen es \(T_{4,-3}(x',y')=(x'+4,y' - 3)\).

Step2: Identificar coordenadas de \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\)

Supongamos que \(A'(-5,4)\), \(B'(0,4)\), \(C'(0,1)\), \(D'(-5,1)\) (coordenadas aproximadas del rectángulo \(A'B'C'D'\) en la gráfica).

• Para \(A'\): \(x=-5\), \(y = 4\). Usando la regla inversa \(x=x'+4=-5 + 4=-1\), \(y=y'-3=4-3 = 1\).
• Para \(B'\): \(x = 0\), \(y = 4\). \(x=x'+4=0 + 4=4\) (esto no es una de las opciones, pero seguimos. \(y=y'-3=4-3 = 1\) (no).
• Para \(C'\): \(x = 0\), \(y = 1\). \(x=x'+4=0+4 = 4\) (no), \(y=y'-3=1 - 3=-2\).
• Para \(D'\): \(x=-5\), \(y = 1\). \(x=x'+4=-5 + 4=-1\), \(y=y'-3=1-3=-2\).

Otra forma: Si la regla de traducción es \((x,y)\to(x - 4,y + 3)\), entonces \((x,y)\) (pre - imagen) se obtiene de \((x',y')\) (imagen) como \(x=x'+4\), \(y=y'-3\).
Si tomamos las opciones:

• Para el punto \((-1,-2)\): Si \(x'=-1-4=-5\), \(y'=-2 + 3=1\) (coincide con \(D'\)).
• Para el punto \((7,1)\): \(x'=7-4 = 3\) (no en la imagen).
• Para el punto \((-1,7)\): \(x'=-1-4=-5\), \(y'=7 + 3 = 10\) (no).
• Para el punto \((-1,1)\): \(x'=-1-4=-5\), \(y'=1+3 = 4\) (coincide con \(A'\)).
• Para el punto \((7,-2)\): \(x'=7-4 = 3\) (no), \(y'=-2+3 = 1\) (no). Pero si consideramos que la regla de traducción se aplica a todas las coordenadas.

Si la regla es \(T_{-4,3}(x,y)\), entonces para encontrar el pre - imagen:
Tomemos la ecuación \(x_{pre}=x_{image}+4\), \(y_{pre}=y_{image}-3\).
Si \(x_{image}=-5\) (de \(A'\) o \(D'\)): \(x_{pre}=-5 + 4=-1\).
Si \(y_{image}=4\) (de \(A'\) o \(B'\)): \(y_{pre}=4-3 = 1\).
Si \(y_{image}=1\) (de \(C'\) o \(D'\)): \(y_{pre}=1-3=-2\).

Answer:

\((-1,-2)\), \((-1,1)\)