Question

a parabola is defined by the equation $(x - 4)^{2}=8(y - 5)$. plot the vertex and the focus, then click next. click to plot points. click points to delete them. answer attempt 1 out of 2 you must answer all questions

Explanation:

Step1: Identificar la forma estándar de la ecuación de la parábola

La ecuación estándar de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo es \((x - h)^2 = 4p(y - k)\), donde \((h,k)\) es el vértice.
Dada la ecuación \((x - 4)^2 = 8(y - 5)\), comparando con la forma estándar \((x - h)^2 = 4p(y - k)\), tenemos \(h = 4\), \(k = 5\). Entonces, el vértice \((h,k)=(4,5)\).

Step2: Calcular el valor de \(p\)

Como \((x - 4)^2 = 8(y - 5)\) y \((x - h)^2 = 4p(y - k)\), entonces \(4p=8\), resolviendo para \(p\), tenemos \(p = 2\).

Step3: Encontrar la ubicación del foco

Para una parábola de la forma \((x - h)^2 = 4p(y - k)\) que abre hacia arriba (\(p>0\)), el foco se localiza en el punto \((h,k + p)\).
Sustituyendo \(h = 4\), \(k = 5\) y \(p = 2\), obtenemos el foco \((4,5 + 2)=(4,7)\).

Answer:

El vértice es \((4,5)\) y el foco es \((4,7)\).