Question

z is the midpoint of \\(\overline{xy}\\) and \\(\overline{xy} \perp \overline{wz}\\). complete the proof that \\(\angle y \cong \angle x\\).

Explanation:

Step1: Identificar el primer razonamiento

La declaración "Z es el punto medio de \(\overline{XY}\)" tiene como razón la definición de punto medio, que establece que un punto medio divide un segmento en dos partes congruentes, por lo tanto \(\overline{XZ} \cong \overline{YZ}\) (aunque esta es la declaración 4, la razón para la declaración 1 es la definición de punto medio).

Step2: Razonamiento para \(\overline{XY} \perp \overline{WZ}\)

La razón para \(\overline{XY} \perp \overline{WZ}\) es la información dada en el problema, ya que se establece que \(XY \perp WZ\).

Step3: Razonamiento para \(\angle WZX \cong \angle WZY\)

Si dos segmentos son perpendiculares, forman ángulos rectos, y todos los ángulos rectos son congruentes. Por lo tanto, la razón es que ángulos rectos son congruentes (ya que \(\overline{XY} \perp \overline{WZ}\) implica que \(\angle WZX\) y \(\angle WZY\) son ángulos rectos, y \(\angle WZX \cong \angle WZY\) porque todos los ángulos rectos miden \(90^\circ\)).

Step4: Razonamiento para \(\overline{WZ} \cong \overline{WZ}\)

Este es el principio de reflexividad (un segmento es congruente consigo mismo), por lo que la razón es "Reflexive Property of Congruence" (Propiedad de Reflexividad de Congruencia).

Step5: Razonamiento para \(\triangle WXZ \cong \triangle WYZ\)

Para demostrar que dos triángulos son congruentes, usamos el criterio \(SAS\) (Lado - Ángulo - Lado), ya que:

• \(\overline{XZ} \cong \overline{YZ}\) (de la declaración 4, razón: definición de punto medio)
• \(\angle WZX \cong \angle WZY\) (de la declaración 3, razón: ángulos rectos congruentes)
• \(\overline{WZ} \cong \overline{WZ}\) (de la declaración 5, razón: reflexividad)

Por lo tanto, la razón es \(SAS\) (Criterio de Congruencia \(SAS\)).

Step6: Razonamiento para \(\angle Y \cong \angle X\)

Si dos triángulos son congruentes (\(\triangle WXZ \cong \triangle WYZ\) por \(SAS\)), entonces sus ángulos correspondientes son congruentes (Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent - CPCTC). Por lo tanto, \(\angle Y \cong \angle X\) porque son ángulos correspondientes de triángulos congruentes.

Answer:

Para cada declaración, las razones son:

1. Z es el punto medio de \(\overline{XY}\): Definición de punto medio (un punto medio divide un segmento en dos congruentes).
2. \(\overline{XY} \perp \overline{WZ}\): Información dada (del enunciado del problema).
3. \(\angle WZX \cong \angle WZY\): Ángulos rectos son congruentes (ya que \(XY \perp WZ\) forma ángulos de \(90^\circ\)).
4. \(\overline{XZ} \cong \overline{YZ}\): Definición de punto medio (de la declaración 1).
5. \(\overline{WZ} \cong \overline{WZ}\): Propiedad de reflexividad de congruencia (un segmento es congruente consigo mismo).
6. \(\triangle WXZ \cong \triangle WYZ\): Criterio \(SAS\) de congruencia de triángulos (Lado - Ángulo - Lado).
7. \(\angle Y \cong \angle X\): CPCTC (Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent) (ángulos correspondientes de triángulos congruentes son congruentes).