Question

graph the polygon with the given vertices and its image after the given rotation about point a. a(-2, -5), b(-7, 3), c(-4, 3), d(-1, -3); 270° counterclockwise

Explanation:

Step1: Trasladar el punto de rotación al origen

Para rotar un punto $(x,y)$ en un ángulo $\theta$ en torno a un punto $A(a,b)$, primero trasladamos el punto $A$ al origen. Entonces, para un punto $P(x,y)$, el nuevo punto $P'$ después de la traslación es $(x - a,y - b)$.
Sea $A(-2,-5)$. Para el punto $B(-7,3)$:
$x'_B=-7-(-2)=-5$
$y'_B=3 - (-5)=8$
Para el punto $C(-4,3)$:
$x'_C=-4-(-2)=-2$
$y'_C=3 - (-5)=8$
Para el punto $D(-1,-3)$:
$x'_D=-1-(-2)=1$
$y'_D=-3 - (-5)=2$

Step2: Aplicar la matriz de rotación

La matriz de rotación para un ángulo $\theta = 270^{\circ}$ (o $\theta=\frac{3\pi}{2}$ radianes) en el plano cartesiano es

$$\begin{bmatrix}0&1\\ - 1&0\end{bmatrix}$$

.
Para el punto $B'(-5,8)$:

$$\begin{bmatrix}0&1\\ - 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-5\\8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\5\end{bmatrix}$$

Para el punto $C'(-2,8)$:

$$\begin{bmatrix}0&1\\ - 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\2\end{bmatrix}$$

Para el punto $D'(1,2)$:

$$\begin{bmatrix}0&1\\ - 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\ - 1\end{bmatrix}$$

Step3: Trasladar de vuelta al punto original

Para devolver los puntos a su posición original con respecto al punto $A(-2,-5)$, sumamos las coordenadas del punto $A$ a las coordenadas de los puntos rotados.
Para el punto $B$ rotado:
$x_{B_{rot}}=8+(-2)=6$
$y_{B_{rot}}=5+(-5)=0$
Para el punto $C$ rotado:
$x_{C_{rot}}=8+(-2)=6$
$y_{C_{rot}}=2+(-5)=-3$
Para el punto $D$ rotado:
$x_{D_{rot}}=2+(-2)=0$
$y_{D_{rot}}=-1+(-5)=-6$

El punto $A$ no cambia al rotar en torno a sí mismo, así que $A(-2,-5)$ permanece igual.

Answer:

Los vértices del polígono original son $A(-2,-5),B(-7,3),C(-4,3),D(-1,-3)$. Los vértices del polígono rotado son $A(-2,-5),B(6,0),C(6,-3),D(0,-6)$.