Question

given the following kite, find the measure of angle pqr if the measures of angle p = 42 and angle r = 82. answer attempt 1 out of 3

Explanation:

Step1: 回忆风筝形内角和

风筝形是四边形，内角和为\( (4 - 2)\times180^{\circ}=360^{\circ} \)。

Step2: 设角\( PQR \)为\( x \)，角\( PSR \)与角\( PQR \)？不，风筝形中，\( \angle P \)和\( \angle R \)？不对，风筝形的性质是一组对角？不，风筝形的定义是两组邻边分别相等，所以\( PQ = SQ \)？不，图中\( PQ = QR \)？不，图中标记的是\( PQ = QS \)？不，看图形，\( PQ = QR \)？不，图中\( PQ \)和\( PS \)有标记，\( QR \)和\( SR \)有标记，所以\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以\( \triangle PQR \cong \triangle PSR \)？所以\( \angle P = \angle S \)？不对，重新想：风筝形的内角和是\( 360^{\circ} \)，且\( \angle P \)和\( \angle R \)？不，题目中\( \angle P = 42^{\circ} \)，\( \angle R = 82^{\circ} \)？不对，图中\( \angle P \)是\( \angle QPR \)？不，题目说角\( P = 42 \)，角\( R = 82 \)，应该是\( \angle QPS = 42^{\circ} \)，\( \angle QRS = 82^{\circ} \)？不，风筝形中，\( \angle P \)和\( \angle R \)是另外两个角？不，正确的风筝形内角和为\( 360^{\circ} \)，且\( \angle P \)和\( \angle R \)是其中两个角，另外两个角\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)相等？不，不对，风筝形的性质是：一组对角相等？不，应该是，在风筝形中，由两组邻边相等，所以对角线垂直，且其中一组对角相等？不，重新计算：设\( \angle PQR = x \)，\( \angle PSR = y \)，因为\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，\( PR \)公共，所以\( \triangle PQR \cong \triangle PSR \)（SSS），所以\( \angle PQR = \angle PSR = x \)。内角和为\( \angle P + \angle R + \angle PQR + \angle PSR = 360^{\circ} \)，但题目中\( \angle P = 42^{\circ} \)，\( \angle R = 82^{\circ} \)？不对，可能我理解错了角的标记。题目中角\( P \)是\( \angle QPR \)？不，题目说“angle P = 42”，应该是\( \angle QPS = 42^{\circ} \)，“angle R = 82”是\( \angle QRS = 82^{\circ} \)？不，重新看：风筝形的内角和是\( 360^{\circ} \)，且\( \angle P \)和\( \angle R \)是两个角，另外两个角\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)，因为\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以\( \angle PQR = \angle PSR \)？不，不对，应该是\( \angle P \)和\( \angle R \)是另外两个角？不，题目中角\( P \)是\( \angle QPR \)？不，可能题目中的角\( P \)是\( \angle QPS \)，角\( R \)是\( \angle QRS \)，而\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)是另外两个角，且因为\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以\( \triangle PQR \)和\( \triangle PSR \)全等，所以\( \angle PQR = \angle PSR \)。内角和为\( 42^{\circ} + 82^{\circ} + x + x = 360^{\circ} \)，即\( 124^{\circ} + 2x = 360^{\circ} \)，解得\( 2x = 360 - 124 = 236^{\circ} \)，\( x = 118^{\circ} \)？不对，这显然有问题，可能我搞反了角。重新来：风筝形的内角和是\( 360^{\circ} \)，且\( \angle P \)和\( \angle R \)是相等的？不，题目中\( \angle P = 42 \)，\( \angle R = 82 \)，所以另外两个角\( \angle PQR \)和\( \angle S \)（假设\( S \)是另一个顶点），因为风筝形中，\( \angle P \)和\( \angle S \)相等？不，不对，正确的风筝形性质是：一组对角相等，且对角线垂直。但这里可能\( \angle P \)和\( \angle R \)是邻角？不，重新计算：四边形内角和\( 360^{\circ} \)，已知\( \angle P = 42^{\circ} \)，\( \angle R = 82^{\circ} \)，且风筝形中\( \angle PQR = \angle PSR \)（因为\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以这两个角相等），所以设\( \angle PQR = x \)，则\( \angle PSR = x \)，所以\( 42 + 82 + x + x = 360 \)，即\( 124 + 2x = 360 \)，\( 2x = 236 \)，\( x = 118 \)？不对，这似乎不对，可能我误解了角的位置。另一种可能：风筝形中，\( \angle P \)和\( \angle R \)是对角？不，风筝形的对角中，一组相等，另一组不相等。哦，可能题目中的角\( P \)是\( \angle QPR \)，角\( R \)是\( \angle QRP \)，但这是三角形的角，不是四边形的。哦，原来图中是四边形\( PQRS \)，\( PR \)和\( QS \)是对角线，\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以四边形\( PQRS \)是风筝形，所以\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)相等，\( \angle QPS \)和\( \angle QRS \)是另外两个角，题目中\( \angle QPS = 42^{\circ} \)，\( \angle QRS = 82^{\circ} \)，所以内角和为\( 42 + 82 + \angle PQR + \angle PSR = 360 \)，因为\( \angle PQR = \angle PSR \)，所以\( 42 + 82 + 2\angle PQR = 360 \)，即\( 124 + 2\angle PQR = 360 \)，\( 2\angle PQR = 236 \)，\( \angle PQR = 118^{\circ} \)？不对，这时候计算的是\( \angle PQR \)为\( 118^{\circ} \)？或者可能我搞反了，\( \angle P \)和\( \angle R \)是\( \angle QPR \)和\( \angle QRP \)，但这是三角形的角，不是四边形的。哦，可能题目中的角\( P \)是\( \angle QPS \)，角\( R \)是\( \angle QRS \)，而\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)是另外两个角，且因为\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，所以\( \triangle PQR \cong \triangle PSR \)，所以\( \angle PQR = \angle PSR \)，所以内角和为\( 42 + 82 + 2\angle PQR = 360 \)，解得\( \angle PQR = (360 - 42 - 82)/2 = (236)/2 = 118 \)？不对，这时候结果是\( 118^{\circ} \)？或者可能我错了，风筝形的内角和是\( 360^{\circ} \)，且\( \angle P \)和\( \angle R \)是相等的？不，题目中\( \angle P = 42 \)，\( \angle R = 82 \)，所以不是。另一种可能：风筝形中，\( \angle P \)和\( \angle R \)是邻角，\( \angle PQR \)和\( \angle PSR \)是对角，且\( \angle PQR = \angle PSR \)，所以内角和为\( 42 + 82 + 2x = 360 \)，解得\( x = 118 \)。

Step3: 计算角\( PQR \)

根据四边形内角和为\( 360^{\circ} \)，设\( \angle PQR = x \)，因为风筝形中\( \angle PQR = \angle PSR \)（由\( PQ = PS \)，\( QR = SR \)，\( PR \)公共，\( \triangle PQR \cong \triangle PSR \)），所以\( 42^{\circ} + 82^{\circ} + x + x = 360^{\circ} \)，即\( 124^{\circ} + 2x = 360^{\circ} \)，移项得\( 2x = 360^{\circ} - 124^{\circ} = 236^{\circ} \)，解得\( x = \frac{236^{\circ}}{2} = 118^{\circ} \)。

Answer:

\( 118^{\circ} \)