Question

find the length of side x in simplest radical form with a rational denominator.

Explanation:

Step1: Usar la relación de triángulo rectángulo \(30 - 60 - 90\)

En un triángulo rectángulo \(30 - 60 - 90\), si el lado opuesto al ángulo de \(60^{\circ}\) es \(a=\sqrt{10}\), y el lado opuesto al ángulo de \(30^{\circ}\) es \(x\). La relación de lados es \(lado\ opuesto\ a\ 60^{\circ}=lado\ opuesto\ a\ 30^{\circ}\times\sqrt{3}\). Pero también, usando la definición de la tangente: \(\tan\theta=\frac{opuesto}{adyacente}\). Aquí, \(\tan60^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{10}}\). Sabemos que \(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\).

Step2: Resolver para \(x\)

Tenemos la ecuación \(\sqrt{3}=\frac{x}{\sqrt{10}}\). Multiplicando ambos lados por \(\sqrt{10}\), obtenemos \(x = \sqrt{3}\times\sqrt{10}\). Pero también, recordando la relación de triángulo \(30 - 60 - 90\) donde \(lado\ opuesto\ a\ 30^{\circ}=k\), \(lado\ opuesto\ a\ 60^{\circ}=k\sqrt{3}\) y \(hipotenusa = 2k\). Aquí, si el lado opuesto a \(60^{\circ}\) es \(\sqrt{10}\), y el lado opuesto a \(30^{\circ}\) es \(x\), usando \(\tan60^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{10}}\) (o mejor, usando la relación \(x=\frac{\sqrt{10}}{\tan30^{\circ}}\), ya que \(\tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)). Entonces \(x=\sqrt{10}\times\sqrt{3}\).

Answer:

\(x = \sqrt{30}\)