Question

find the length of side ( x ) in simplest radical form with a rational denominator.

Explanation:

Step1: Identificar la relación trigonométrica

En un triángulo rectángulo, \(\sin\theta=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\). Aquí, \(\theta = 30^{\circ}\), el lado opuesto a \(30^{\circ}\) es de longitud \(8\) y la hipotenusa es \(x\). Pero también se puede usar la relación \(\tan\theta=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\) o la regla de los triángulos \(30 - 60-90\). En un triángulo \(30 - 60 - 90\), si el lado opuesto a \(30^{\circ}\) es \(a\), el lado opuesto a \(60^{\circ}\) es \(a\sqrt{3}\) y la hipotenusa es \(2a\). Pero aquí, el lado opuesto a \(60^{\circ}\) es \(8\). Si el lado opuesto a \(60^{\circ}\) es \(a\sqrt{3}\), entonces \(a\sqrt{3}=8\), \(a = \frac{8}{\sqrt{3}}\). Y la hipotenusa \(x = 2a\).

Step2: Rationalizar el denominador

\(x=2\times\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\). Multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{3}\), \(x=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)

Answer:

\(\frac{16\sqrt{3}}{3}\)