Question

en los siguientes triángulos rectángulos, hallar las longitudes exactas de los lados d y b.
de ser necesario, escribir las respuestas en forma radical simplificada.

Explanation:

Step1: Hallar \( d \)

En un triángulo rectángulo \( 45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ} \), los catetos son iguales. Usando la relación \( \sin 45^{\circ}=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \) o la propiedad de triángulo \( 45 - 45-90 \) (\( \text{cateto}=\frac{\text{hipotenusa}}{\sqrt{2}} \)), pero también como \( \cos 45^{\circ}=\frac{d}{3} \), y \( \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} \), entonces \( d = 3\times\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\times\frac{2}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\times1=\frac{3\sqrt{2}}{2} \). Pero también, por la propiedad del triángulo \( 45 - 45-90 \) (catetos iguales), \( d=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Step2: Hallar \( b \)

En un triángulo rectángulo \( 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} \), la relación entre los lados es \( \text{cateto corto}: \text{cateto largo}:\text{hipotenusa}=1:\sqrt{3}:2 \). Aquí, el cateto corto es \( 2 \) (opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \)), y el cateto largo \( b \) (opuesto al ángulo de \( 60^{\circ} \)) se calcula como \( b = 2\sqrt{3} \) (ya que \( \text{cateto largo}=\text{cateto corto}\times\sqrt{3} \)).

Answer:

\( d=\frac{3\sqrt{2}}{2} \)
\( b = 2\sqrt{3} \)