Question

en los siguientes triángulos rectángulos, hallar las longitudes exactas de los lados b y a.
de ser necesario, escribir las respuestas en forma radical simplificada.

Explanation:

Step1: Hallar el valor de \( b \)

En un triángulo rectángulo con ángulos \( 45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ} \), los catetos son iguales y la hipotenusa \( h \) se relaciona con el cateto \( c \) por \( h = c\sqrt{2} \). Aquí, los catetos son \( 8 \) y \( 8 \), y \( b \) es la hipotenusa. Entonces, \( b = 8\sqrt{2} \).

Step2: Hallar el valor de \( a \)

En un triángulo rectángulo con ángulos \( 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} \), la hipotenusa \( h \) se relaciona con el cateto opuesto al ángulo de \( 30^{\circ} \) (\( c_{30} \)) y el cateto opuesto al ángulo de \( 60^{\circ} \) (\( c_{60} \)) por \( h = 2c_{30} \) y \( c_{60}=\sqrt{3}c_{30} \). Aquí, \( c_{60} = 3 \), entonces \( c_{30}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \), y la hipotenusa \( a = 2\sqrt{3} \).

Answer:

\( b = 8\sqrt{2} \)
\( a = 2\sqrt{3} \)