Question

drag around all four vertices of the following quadrilateral a significant amount (until the vertices turn dark). afterwards, drag and drop the properties of the quadrilateral that remained true no matter what as you drag the quadrilateral around.
what to measure: four side lengths
ab = 4 bc = 4 cd = 4 ad = 4
image of a square - shaped quadrilateral with side length 4 and labeled vertices d, c, b, a
after exploring for a while, determine which of the following properties are always true by dragging them to the right.
not always true always true
all four sides are congruent
opposite sides are congruent
opposite sides are parallel
all four angles are congruent
opposite angles are congruent
diagonals are congruent
diagonals bisect each other
diagonals intersect at a right angle
diagonals bisect interior angles
sum of all angles equals 360°

Explanation:

Step1: Analizar propiedades de cuadrilteros

Al manipular el cuadriltero, observamos las propiedades que persisten.
- **Lados opuestos congruentes**: En un cuadriltero, cuando se deforman los vértices, los lados opuestos mantienen su longitud (si el cuadriltero original tiene lados opuestos iguales, pero al deformar, en general, para cualquier cuadriltero? No, pero en el caso de un rombo o paralelogramo, pero aquí el problema es sobre el cuadriltero dado inicialmente con lados 4,4,4,4 (un rombo o cuadrado). Al deformar, los lados opuestos siguen siendo congruentes? Wait, el cuadriltero inicial es un cuadrado (lados 4, ángulos rectos). Al mover los vértices, se convierte en un rombo (lados iguales). Entonces:
- *All four sides are congruent*: Si es un rombo (lados iguales), pero si se deformara más? No, en el problema, al arrastrar, si el cuadriltero es un rombo (lados iguales), entonces todos los lados siguen siendo congruentes? Wait, el problema dice "drag around all four vertices a significant amount (until the vertices turn dark)". Entonces, si el cuadriltero es un rombo (lados iguales), al deformar, los lados siguen siendo iguales? No, un rombo tiene lados iguales, pero si se convierte en un paralelogramo no rombo, los lados no serían iguales. Wait, el cuadriltero inicial es un cuadrado (lados 4,4,4,4). Al mover los vértices, se puede convertir en un rombo (lados 4,4,4,4) o en un paralelogramo con lados 4 y otro valor? No, si se mueven los vértices manteniendo la longitud de los lados (porque se arrastra, no se estira los lados). Entonces, los lados siguen siendo 4,4,4,4? Entonces:
- *All four sides are congruent*: Siempre verdadero (si se mantienen las longitudes de los lados al arrastrar, como en un rombo).
- *Opposite sides are congruent*: Siempre verdadero (en cualquier paralelogramo, incluyendo rombo y cuadrado).
- *Opposite sides are parallel*: Siempre verdadero (en paralelogramo).
- *All four angles are congruent*: No, al deformar, los ángulos ya no son rectos, así que no siempre.
- *Opposite angles are congruent*: En un paralelogramo, ángulos opuestos son congruentes, así que siempre verdadero.
- *Diagonals are congruent*: En un rombo, las diagonales no son congruentes a menos que sea un cuadrado, así que no siempre.
- *Diagonals bisect each other*: En cualquier paralelogramo, las diagonales se bisectan, así que siempre verdadero.
- *Diagonals intersect at a right angle*: En un rombo, las diagonales se cortan en ángulo recto, pero en un paralelogramo no rombo, no. Entonces no siempre.
- *Diagonals bisect interior angles*: En un rombo, sí, pero en un paralelogramo no, así que no siempre.
- *Sum of all angles equals 360°*: Siempre verdadero para cualquier cuadriltero (teorema de la suma de ángulos internos de un cuadriltero: \( (4 - 2) \times 180^\circ = 360^\circ \)).

Wait, el problema tiene una lista de propiedades. Vamos a clasificar cada una:

1. **All four sides are congruent**: Si el cuadriltero es un rombo (lados iguales), al arrastrar, los lados siguen siendo iguales (porque se mueven los vértices sin cambiar la longitud de los lados). Entonces siempre verdadero?
2. **Opposite sides are congruent**: En cualquier paralelogramo (que es lo que se obtiene al deformar un rombo o cuadrado), lados opuestos son congruentes. Siempre verdadero.
3. **Opposite sides are parallel**: En paralelogramo, lados opuestos son paralelos. Siempre verdadero.
4. **All four angles are congruent**: En un cuadrado o rectángulo, pero al deformar, los ángulos ya no son rectos, así que no siempre.
5. **Opposite angles are congruent**: En paralelogramo, ángulos opuestos son congruentes. Siempre verdadero.
6. **Diagonals are congruent**: En rectángulo o cuadrado, pero en rombo no, así que no siempre.
7. **Diagonals bisect each other**: En paralelogramo, diagonales se bisectan. Siempre verdadero.
8. **Diagonals intersect at a right angle**: En rombo o cuadrado, pero en paralelogramo no, así que no siempre.
9. **Diagonals bisect interior angles**: En rombo, sí, en paralelogramo no, así que no siempre.
10. **Sum of all angles equals 360°**: Siempre verdadero para cualquier cuadriltero.

Step2: Clasificar cada propiedad

- **Always True**:
- Opposite sides are congruent
- Opposite sides are parallel
- Opposite angles are congruent
- Diagonals bisect each other
- Sum of all angles equals 360°
- All four sides are congruent (si es un rombo, lados iguales)
Wait, el cuadriltero inicial es un cuadrado (lados 4,4,4,4). Al arrastrar, se convierte en un rombo (lados iguales), así que todos los lados siguen siendo congruentes. Entonces "All four sides are congruent" es siempre verdadero?

Wait, el problema dice "drag around all four vertices a significant amount (until the vertices turn dark)". Entonces, si el cuadriltero es un rombo (lados iguales), al mover los vértices, se mantiene como rombo (lados iguales), así que "All four sides are congruent" es siempre verdadero.

Entonces las propiedades siempre verdaderas son:

- All four sides are congruent
- Opposite sides are congruent
- Opposite sides are parallel
- Opposite angles are congruent
- Diagonals bisect each other
- Sum of all angles equals 360°

Answer:

Las propiedades que son Always True son:

• All four sides are congruent
• Opposite sides are congruent
• Opposite sides are parallel
• Opposite angles are congruent
• Diagonals bisect each other
• Sum of all angles equals 360°

(Nota: Dependiendo de la deformación, pero en el contexto del problema, al manipular el cuadriltero inicial (un cuadrado) que se convierte en un rombo, estas propiedades persisten.)