Question

1. in the diagram shown, f lies on \\(\overline{eg}\\) and \\(\overline{eh} \cong \overline{gh}\\). which additional piece of information below would not allow you to use the side - side - side theorem to conclude that \\(\triangle efh \cong \triangle gfh\\)?

(1) f is the midpoint of \\(\overline{eg}\\)
(2) \\(\overline{hf}\\) is a median drawn to \\(\overline{eg}\\)
(3) \\(\overline{hf}\\) is the perpendicular bisector of \\(\overline{eg}\\)
(4) \\(\overline{hf}\\) bisects \\(\angle ehg\\)
reasoning

Explanation:

Step1: Analizar la condición del teorema Side - Side - Side (SSS)

El teorema SSS establece que si los tres lados de un triángulo son congruentes a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. En \(\triangle EFH\) y \(\triangle GFH\), ya se tiene \(EH\cong GH\) (dado) y \(HF\cong HF\) (lado común). Necesitamos \(EF\cong GF\).

Step2: Analizar cada opción

• Opción (1): Si \(F\) es el punto medio de \(\overline{EG}\), entonces \(EF = GF\). Con \(EH\cong GH\), \(HF\cong HF\) y \(EF\cong GF\), se puede aplicar SSS.
• Opción (2): Si \(\overline{HF}\) es una mediana a \(\overline{EG}\), entonces \(F\) es el punto medio de \(\overline{EG}\), es decir \(EF = GF\). Con \(EH\cong GH\), \(HF\cong HF\) y \(EF\cong GF\), se puede aplicar SSS.
• Opción (3): Si \(\overline{HF}\) es el bisector perpendicular de \(\overline{EG}\), entonces \(EF = GF\). Con \(EH\cong GH\), \(HF\cong HF\) y \(EF\cong GF\), se puede aplicar SSS.
• Opción (4): Si \(\overline{HF}\) bisecta \(\angle EHG\), se obtiene \(\angle EHF\cong\angle GHF\). Con \(EH\cong GH\) y \(HF\cong HF\), se puede aplicar el teorema SAS (Side - Angle - Side), no SSS.

Answer:

(4) \(\overline{HF}\) bisects \(\angle EHG\)