Question

tâche 3 : la compétition de cerfs-volants
vous participerez à une compétition de cerfs-volants. la toile de votre cerf-volant possède
des panneaux faits d’un tissu particulier à travers lequel l’air circule, ce qui vous permet de
le diriger avec plus de précision.
pour la compétition, les catégories de participants ont été établies en fonction du
pourcentage de ce tissu particulier par rapport à la surface totale du cerf-volant.
schéma de votre cerf-volant
schéma dun triangle avec points a, e en bas, c en haut, et points b, d, h, g, f
spécifications concernant le schéma de votre cerf-volant :

• les zones grisées représentent les deux panneaux faits du tissu particulier.
• les segments ab et bg mesurent respectivement 96 cm et 72 cm.
• la tige gc partage le cerf-volant en deux parties identiques.

le tableau ci-dessous sert de référence pour l’établissement des catégories de participants
à la compétition.
catégories de participants selon
le pourcentage du tissu particulier sur la toile
| catégorie | pourcentage du tissu
particulier sur la toile |

débutant	moins de 10 %
intermédiaire	de 10 % à 20 %
avancé	de 21 % à 30 %
expert	plus de 30 %

déterminez dans quelle catégorie vous serez inscrit lors de la compétition.

Explanation:

Step 1: Identifier le triangle rectangle

AB = 96 cm, BG = 72 cm. Le triangle ABG est rectangle (car GC divise le cerf - volant en deux parties identiques, et H, G, F sont sur la base, donc BH et DG sont perpendiculaires à AE). On peut utiliser la similitude des triangles ou le théorème de Pythagore pour trouver la hauteur et la base. D'abord, trouvons la longueur de AG. Dans le triangle ABG rectangle, par le théorème de Pythagore, $AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{96^{2}-72^{2}}=\sqrt{(96 - 72)(96 + 72)}=\sqrt{24\times168}=\sqrt{4032}=48\sqrt{1.4}$? Non, meilleure façon : $96 = 24\times4$, $72 = 24\times3$, donc $AG=\sqrt{(24\times4)^{2}-(24\times3)^{2}}=24\sqrt{16 - 9}=24\sqrt{7}\approx24\times2.6458 = 63.5$? Non, erreur. Attendez, AB est l'hypoténuse? Non, BG est la hauteur? Attendez, le schéma : C est le sommet, AE la base. B et D sont sur AC et CE. BH et DG sont perpendiculaires à AE. Donc triangle ABH et ABG? Attendez, les segments AB et BG : AB est un côté, BG est une hauteur? Non, peut - être que triangle ABG est rectangle en G. Donc AG est la base, BG la hauteur, AB l'hypoténuse. Donc $AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{96^{2}-72^{2}}=\sqrt{9216 - 5184}=\sqrt{4032}=48\sqrt{1.4}$? Non, 96²=9216, 72²=5184, 9216 - 5184 = 4032, 4032=64×63, donc $\sqrt{4032}=8\sqrt{63}=8\times3\sqrt{7}=24\sqrt{7}\approx63.48$ cm.

Step 2: Surface du panneau gris (triangle ABH)

La surface d'un triangle est $\frac{1}{2}\times base\times hauteur$. Ici, base AG (ou AH, car la symétrie) et hauteur BG. Wait, le panneau gris est un triangle? Ou un trapèze? Non, les zones grisées sont deux triangles (ABH et DEG). Comme la symétrie, les deux triangles sont identiques. Donc surface d'un triangle gris : $S_{gris}=\frac{1}{2}\times AG\times BG$. Et la surface totale du cerf - volant est la surface du triangle ACE. Comme GC divise le cerf - volant en deux parties identiques, le triangle ACE est isocèle avec base AE et hauteur GC. Et AG = GE (par symétrie), donc AE = 2AG.

D'abord, calculons AG : $AG=\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{96^{2}-72^{2}}=\sqrt{(96 - 72)(96 + 72)}=\sqrt{24\times168}=\sqrt{4032}=63.48$ cm (arrondi).

Surface du triangle ABH (gris) : $S_{gris}=\frac{1}{2}\times AG\times BG=\frac{1}{2}\times63.48\times72\approx2285.28$ cm².

Surface totale du cerf - volant (triangle ACE) : la hauteur du triangle ACE est BG + GC? Non, wait, BG est la hauteur du triangle ABG, et GC est la tige. Attendez, peut - être que le triangle ACE a pour base AE = 2AG et pour hauteur la longueur de BC + BG? Non, mieux : comme le triangle ABG et le triangle ACG sont similaires? Attendez, AB = 96, BG = 72, AG = 63.48. Le triangle ACE a pour base AE = 2AG = 126.96 et pour hauteur la longueur de C à AE, qui est BG + GC? Non, GC divise le cerf - volant en deux parties identiques, donc la hauteur du triangle ACE est 2×BG? Non, BG est la hauteur du triangle ABG, et le triangle ACE est isocèle avec AC = CE. Donc la hauteur du triangle ACE est la distance de C à AE, qui est égale à BG + (la hauteur de C par rapport à B). Wait, peut - être que le triangle ABG et le triangle ACG sont similaires. AB = 96, AG = 63.48, et AC = 2×AB? Non, pas nécessairement. Attendez, peut - être que la surface du triangle ACE est 4 fois la surface du triangle ABG, car AG = GE (par symétrie), et la hauteur du triangle ACE est 2×BG (car GC divise en deux parties identiques, donc la hauteur totale est 2×BG). Wait, si AG = GE, alors AE = 2AG, et la hauteur du triangle ACE est 2×BG (car le triangle ABG a hauteur BG, et le triangle ACE a hauteur 2×BG). Alors surface du triangle ACE : $S_{totale}=\frac{1}{2}\times AE\times (2BG)=\frac{1}{2}\times2AG\times2BG = 2\times AG\times BG$.

Surface des deux panneaux gris : 2×$S_{gris}$ = 2×($\frac{1}{2}\times AG\times BG$) = $AG\times BG$.

Donc le pourcentage de tissu particulier est $\frac{S_{gris\ total}}{S_{totale}}\times100=\frac{AG\times BG}{2\times AG\times BG}\times100$? Non, erreur. Attendez, si la surface totale est $\frac{1}{2}\times AE\times H$, où H est la hauteur totale (de C à AE), et la surface des deux grises est 2×($\frac{1}{2}\times AG\times BG$) = $AG\times BG$. Et AE = 2AG, H = 2BG (car GC divise en deux, donc la hauteur du triangle ACE est 2×BG). Alors $S_{totale}=\frac{1}{2}\times2AG\times2BG = 2AG\times BG$. Et $S_{gris\ total}=AG\times BG$. Donc le pourcentage est $\frac{AG\times BG}{2AG\times BG}\times100 = 50\%$? Non, c'est faux. Attendez, peut - être que le triangle ABG est un triangle rectangle en G, et le triangle ACE est un triangle isocèle avec base AE et hauteur CG, et que B est le milieu de AC. Donc AC = 2AB, et AG = 2×(AG de ABG)? Non, je me trompe.

Alternativement, utilisons la similitude. Le triangle ABG et le triangle ACG : AB/AC = AG/AC? Non. Attendez, AB = 96, BG = 72. Le ratio des côtés AB/BG = 96/72 = 4/3. Donc le triangle ABG est un triangle rectangle avec ratio 3 - 4 - 5 (72 = 24×3, 96 = 24×4, donc AG = 24×5 = 120? Oh! Oui! 3 - 4 - 5 triangle : 3k, 4k, 5k. 3k = 72 ⇒ k = 24, donc 4k = 96, 5k = 120. Donc AG = 120 cm! Ah, c'est mieux. J'avais fait une erreur avant, en prenant AG comme la base, mais en réalité, BG est le côté de longueur 3k, AB le côté 4k, donc AG est le côté 5k? Non, wait, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est la plus longue. Donc si AB = 96 (4k), BG = 72 (3k), alors AG est l'hypoténuse? Non, 96² + 72² = (96 + 72)(96 - 72)=168×24 = 4032, et 120² = 14400, ce n'est pas égal. Wait, 72²+120² = 5184 + 14400 = 19584, et 96² = 9216, non. Erreur. La bonne façon : si le triangle est rectangle en G, alors AB² = AG² + BG². Donc AG² = AB² - BG² = 96² - 72² = (96 - 72)(96 + 72)=24×168 = 4032 ⇒ AG = √4032 = 63.48 cm (comme avant).

Maintenant, la surface du panneau gris (triangle ABH) : $S_{1}=\frac{1}{2}\times AG\times BG=\frac{1}{2}\times63.48\times72\approx2285.28$ cm². Il y a deux panneaux gris (ABH et DEG), donc $S_{gris\ total}=2\times2285.28 = 4570.56$ cm².

La surface totale du cerf - volant (triangle ACE) : AE = 2×AG = 2×63.48 = 126.96 cm (par symétrie, car GC divise en deux parties identiques, donc AG = GE). La hauteur du triangle ACE est la distance de C à AE. Comme B est sur AC, et BG est perpendiculaire à AE, la hauteur de C à AE est 2×BG = 2×72 = 144 cm (car GC divise le cerf - volant en deux parties identiques, donc la hauteur totale est le double de BG). Donc $S_{totale}=\frac{1}{2}\times AE\times hauteur=\frac{1}{2}\times126.96\times144\approx\frac{1}{2}\times18282.24 = 9141.12$ cm².

Maintenant, calculons le pourcentage : $\frac{S_{gris\ total}}{S_{totale}}\times100=\frac{4570.56}{9141.12}\times100 = 50\%$? Non, c'est impossible. J'ai fait une erreur dans la hauteur. Attendez, BG est la hauteur du triangle ABG, et le triangle ABG est une partie du triangle ACE. Si AC = 2AB (car GC divise en deux parties identiques), alors la hauteur du triangle ACE est 2×BG. Et AG = GE, donc AE = 2AG. Alors $S_{ABG}=\frac{1}{2}\times AG\times BG$, et $S_{ACE}=\frac{1}{2}\times AE\times (2BG)=\frac{1}{2}\times2AG\times2BG = 2AG\times BG$. Les deux panneaux gris sont deux triangles identiques à ABG, donc $S_{gris\ total}=2\times S_{ABG}=2\times\frac{1}{2}\times AG\times BG = AG\times BG$. Donc le pourcentage est $\frac{AG\times BG}{2AG\times BG}\times100 = 50\%$? Non, ce n'est pas possible. Attendez, peut - être que le triangle ABG est un triangle rectangle en B, pas en G. Alors AB = 96, BG = 72, angle en B est droit. Alors AG² = AB² + BG² = 96² + 72² = 9216+5184 = 14400 ⇒ AG = 120 cm. Ah! C'est ça! J'avais le triangle rectangle en B, pas en G. Donc AG est l'hypoténuse, AB et BG sont les côtés. Donc AG = 120 cm.

Maintenant, la surface du panneau gris (triangle ABH) : si BH est perpendiculaire à AE, et B est sur AC, alors le triangle ABH est un triangle rectangle en H. Et comme GC divise le cerf - volant en deux parties identiques, AE est la base, et la hauteur du cerf - volant (de C à AE) est la longueur de C à AE. Le triangle ACE est isocèle avec AC = CE, et AG = GE = 120 cm (car AG = 120, et par symétrie). Donc AE = AG + GE = 240 cm. La hauteur du triangle ACE (de C à AE) : dans le triangle ABG, AB = 96, BG = 72, AG = 120. La hauteur de B à AE (BH) : la surface du triangle ABG est $\frac{1}{2}\times AB\times BG=\frac{1}{2}\times96\times72 = 3456$ cm². Et aussi $\frac{1}{2}\times AG\times BH = 3456$ ⇒ $\frac{1}{2}\times120\times BH = 3456$ ⇒ BH = $\frac{3456\times2}{120}=57.6$ cm. Donc la hauteur du triangle ACE (de C à AE) est 2×BH = 115.2 cm (car GC divise en deux parties identiques, donc la hauteur totale est le double de BH).

Maintenant, surface totale du cerf - volant (triangle ACE) : $\frac{1}{2}\times AE\times hauteur=\frac{1}{2}\times240\times115.2 = 13824$ cm².

Surface des deux panneaux gris : chaque panneau est un triangle avec base AG = 120 cm? Non, les deux panneaux gris sont les triangles ABH et DEG. Chaque triangle a une base AH et hauteur BH = 57.6 cm. Et AH = $\frac{AB^{2}}{AG}=\frac{96^{2}}{120}=\frac{9216}{120}=76.8$ cm (car dans le triangle rectangle ABG, la hauteur BH est donnée par $BH=\frac{AB\times BG}{AG}$, et AH = $\frac{AB^{2}}{AG}$). Donc la surface d'un panneau gris (triangle ABH) est $\frac{1}{2}\times AH\times BH=\frac{1}{2}\times76.8\times57.6 = 2211.84$ cm². Deux panneaux : $2\times2211.84 = 4423.68$ cm².

Maintenant, le pourcentage : $\frac{4423.68}{13824}\times100\approx32\%$.

Wait, calculons $AH=\frac{AB^{2}}{AG}=\frac{96\times96}{120}=\frac{9216}{120}=76.8$ cm. $BH=\frac{AB\times BG}{AG}=\frac{96\times72}{120}=\frac{6912}{120}=57.6$ cm. Surface d'un triangle gris : $\frac{1}{2}\times76.8\times57.6 = 2211.84$ cm². Deux triangles : 4423.68 cm². Surface totale du cerf - volant : $\frac{1}{2}\times AE\times hauteur$. AE = AG + GE = 120+120 = 240 cm. Hauteur = 2×BH = 115.2 cm (car GC divise en deux parties identiques, donc la hauteur totale est le double de BH). Donc surface totale : $\frac{1}{2}\times240\times115.2 = 13824$ cm².

Pourcentage : $\frac{4423.68}{13824}\times100 = 32\%$.

Step 3: Déterminer la catégorie

Le pourcentage est 32%, qui est plus de 30%, donc la catégorie est Expert.

Answer:

Expert