Question

below are △abc and △def. we assume that ab = de, bc = ef, and m∠b = m∠e. here is a rough outline of a proof that △abc ≅ △def: 1. we can map △abc using a sequence of rigid transformations so that a = d and b = e. show drawing. 2. if c and f are on the same side of de, then c = f. show drawing. 3. if c and f are on opposite sides of de, then we reflect △abc across de and then c = f, a = d and b = e. show drawing. what is the justification that c = f in step 2? choose 1 answer: a c and f are the same distance from e along the same ray. b both c and f lie on intersection points of circles centered at d and e with radii df and ef, respectively. there are two such possible points, one on each side of de. c c and f are at the intersection of the same pair of rays.

Explanation:

Explicación breve:

• En el paso 2, se asume que \(C'\) y \(F\) están en el mismo lado de \(\overleftrightarrow{DE}\). Dado que \(AB = DE\), \(BC=EF\) y \(m\angle B=m\angle E\), cuando se mapea \(\triangle ABC\) a \(\triangle DEF\) (con \(A' = D\) y \(B'=E\)), \(C'\) y \(F\) deben cumplir que \(EC'=EF\) (ya que \(BC = EF\) y la transformación rígida preserva longitudes) y \(\angle B'C'E=\angle BEF\) (ya que la transformación rígida preserva ángulos). Entonces, \(C'\) y \(F\) son el mismo punto porque son la misma distancia de \(E\) a lo largo del mismo rayo.
• La opción B no es correcta porque si se consideran círculos centrados en \(D\) y \(E\) con radios \(DF\) y \(EF\) respectivamente, en el caso de estar en el mismo lado de \(\overleftrightarrow{DE}\) no hay dos puntos de intersección.
• La opción C no es correcta porque no se basa en la intersección de rayos, sino en la congruencia de segmentos y ángulos.

Respuesta:

A. \(C'\) and \(F\) are the same distance from \(E\) along the same ray.

Answer:

Explicación breve:

• En el paso 2, se asume que \(C'\) y \(F\) están en el mismo lado de \(\overleftrightarrow{DE}\). Dado que \(AB = DE\), \(BC=EF\) y \(m\angle B=m\angle E\), cuando se mapea \(\triangle ABC\) a \(\triangle DEF\) (con \(A' = D\) y \(B'=E\)), \(C'\) y \(F\) deben cumplir que \(EC'=EF\) (ya que \(BC = EF\) y la transformación rígida preserva longitudes) y \(\angle B'C'E=\angle BEF\) (ya que la transformación rígida preserva ángulos). Entonces, \(C'\) y \(F\) son el mismo punto porque son la misma distancia de \(E\) a lo largo del mismo rayo.
• La opción B no es correcta porque si se consideran círculos centrados en \(D\) y \(E\) con radios \(DF\) y \(EF\) respectivamente, en el caso de estar en el mismo lado de \(\overleftrightarrow{DE}\) no hay dos puntos de intersección.
• La opción C no es correcta porque no se basa en la intersección de rayos, sino en la congruencia de segmentos y ángulos.

Respuesta:

A. \(C'\) and \(F\) are the same distance from \(E\) along the same ray.