Question

graph this inequality:
$y < \frac{-5}{4}x + 4$
plot points on the boundary line. select the line to switch between solid and dotted. select a region to shade it.

Explanation:

Step1: Analizar la ecuación de la recta

La desigualdad es \( y < -\frac{5}{4}x + 4 \). Primero, consideramos la recta de frontera \( y = -\frac{5}{4}x + 4 \). La pendiente es \( -\frac{5}{4} \) y la intersección con el eje \( y \) es \( 4 \). Como la desigualdad es \( < \) (no incluye la igualdad), la recta de frontera será punteada (dotted).

Step2: Encontrar puntos de la recta

• Cuando \( x = 0 \), \( y = 4 \), así que el punto es \( (0, 4) \).
• Cuando \( x = 4 \), \( y = -\frac{5}{4}(4) + 4 = -5 + 4 = -1 \), así que el punto es \( (4, -1) \).
• Cuando \( x = -4 \), \( y = -\frac{5}{4}(-4) + 4 = 5 + 4 = 9 \), así que el punto es \( (-4, 9) \).

Step3: Dibujar la recta punteada

Usando los puntos \( (0, 4) \), \( (4, -1) \) y \( (-4, 9) \), dibujamos una recta punteada (porque la desigualdad es \( < \)) con pendiente \( -\frac{5}{4} \).

Step4: Determinar la región a sombrear

Para determinar qué región sombrear, probamos un punto que no esté en la recta, por ejemplo, el origen \( (0, 0) \). Sustituimos en la desigualdad: \( 0 < -\frac{5}{4}(0) + 4 \) → \( 0 < 4 \), lo que es verdadero. Por lo tanto, la región a sombrear es la que contiene el origen, es decir, debajo de la recta \( y = -\frac{5}{4}x + 4 \).

Answer:

1. Dibujar la recta punteada \( y = -\frac{5}{4}x + 4 \) pasando por los puntos \( (0, 4) \), \( (4, -1) \), \( (-4, 9) \) (o otros puntos de la recta).
2. Sombrear la región debajo de la recta (que contiene el origen \( (0, 0) \)) para representar \( y < -\frac{5}{4}x + 4 \).