Question

if $\sin x = e^{y}$, $0 < x < \pi$, what is $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$?
a $-\tan x$
c $\cot x$
e $\csc x$

Explanation:

Step1: 对等式两边求导

已知\(\sin x = e^{y}\)，根据复合函数求导法则，对等式两边关于\(x\)求导。
左边\((\sin x)^\prime=\cos x\)，右边\((e^{y})^\prime = e^{y}\cdot y^\prime\)（因为\(y\)是关于\(x\)的函数），所以得到\(\cos x=e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}\)。

Step2: 求解\(\frac{dy}{dx}\)

由\(\sin x = e^{y}\)，将其代入\(\cos x=e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}\)中，可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{e^{y}}=\frac{\cos x}{\sin x}\)。
根据三角函数关系\(\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x\)。

Answer:

C. \(\cot x\)