Question

1. trouver $left.\frac{dy}{dx}

ight|_{(1,1)}$ si $xy+sqrt{y}-x^{2}=1$.

Explanation:

Step1: Différencier implicitement

Différençons chaque terme de l'équation $xy+\sqrt{y}-x^{2}=1$ par rapport à $x$.
Pour le terme $xy$, en utilisant la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x$ et $v = y$, on obtient $y + x\frac{dy}{dx}$.
Pour le terme $\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$, en utilisant la chaîne - règle, on obtient $\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}$.
Pour le terme $-x^{2}$, la dérivée est $-2x$. La dérivée de $1$ est $0$.
Donc, $y + x\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}-2x = 0$.

Step2: Isoler $\frac{dy}{dx}$

On regroupe les termes contenant $\frac{dy}{dx}$:
$x\frac{dy}{dx}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=2x - y$.
On factorise $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx}(x+\frac{1}{2\sqrt{y}})=2x - y$.
Alors $\frac{dy}{dx}=\frac{2x - y}{x+\frac{1}{2\sqrt{y}}}$.

Step3: Évaluer en $(1,1)$

On remplace $x = 1$ et $y = 1$ dans l'expression de $\frac{dy}{dx}$:
$\frac{dy}{dx}\big|_{(1,1)}=\frac{2\times1 - 1}{1+\frac{1}{2\sqrt{1}}}=\frac{2 - 1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$.

Answer:

$\frac{2}{3}$