Question

stacy, a designer for games n things, is working on the card layout for a new game. the face of each card will include an inner region that is twice as long as it is wide to fit both character artwork and instructional text. there will also be a 0.5-inch-wide border around the outside edges. image of a card with a monkey, labeled with 0.5 in. borders and inner region width x in. and length 2x in. the total area of the card in square inches, including both the inner region and the border, can be modeled by the expression (x + 1)(2x + 1), where x is the width of the inner region in inches. what does the quantity 2x + 1 represent in the expression? options: the length of the card in inches; the area of the inner region in square inches; the total area of the card in square inches; the perimeter around the outside of the card in inches

Explanation:

Step1: Analizar la región interna

La región interna tiene un ancho de \( x \) pulgadas y una longitud de \( 2x \) pulgadas (porque es dos veces más larga que ancha).

Step2: Considerar el borde

Hay un borde de 0.5 pulgadas en cada lado. Entonces, para la longitud total de la tarjeta (incluyendo el borde), debemos agregar 0.5 pulgadas en la parte izquierda y 0.5 pulgadas en la parte derecha? No, espera. Wait, la longitud interna es \( 2x \), y el borde es de 0.5 pulgadas en la parte superior e inferior? Wait, no, el diagrama muestra que el borde es de 0.5 pulgadas en todos los lados: izquierda, derecha, arriba y abajo.

Wait, la expresión es \( (x + 1)(2x + 1) \). Vamos a desglosar:

• El ancho total de la tarjeta (incluyendo borde) es \( x + 0.5 + 0.5 = x + 1 \) (porque 0.5 a la izquierda y 0.5 a la derecha).

• La longitud total de la tarjeta (incluyendo borde) es \( 2x + 0.5 + 0.5 = 2x + 1 \) (porque 0.5 arriba y 0.5 abajo).

Entonces, en la expresión \( (x + 1)(2x + 1) \), \( x + 1 \) es el ancho total y \( 2x + 1 \) es la longitud total de la tarjeta.

Ahora, analizamos las opciones:

1. "the length of the card in inches" (la longitud de la tarjeta en pulgadas): coincide, porque la longitud total es \( 2x + 1 \).

1. "the area of the inner region in square inches": el área interna es \( x \times 2x = 2x^2 \), no \( 2x + 1 \).

1. "the total area of the card in square inches": el área total es \( (x + 1)(2x + 1) \), no \( 2x + 1 \).

1. "the perimeter around the outside of the card in inches": el perímetro sería \( 2 \times (ancho + longitud) = 2 \times (x + 1 + 2x + 1) = 2 \times (3x + 2) = 6x + 4 \), no \( 2x + 1 \).

Answer:

the length of the card in inches