Question

1.9 rational functions & vertical asymptotes
ap precalculus
name:
ca #2
find the vertical asymptote(s) of the following rational functions, if one exists.
1.
$f(x)=\frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 15}$
2.
$g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^2 - 8x + 16}$
3.
$h(t)=\frac{t^2 - 2t - 15}{t^2 + t - 20}$

Explanation:

Step 1: Factorizar el numerador y el denominador

Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \), factorizamos:
- Numerador: \( x^{2}-25=(x - 5)(x + 5) \) (diferencia de cuadrados: \( a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b) \))
- Denominador: \( x^{2}-8x + 15=(x - 3)(x - 5) \) (factorización de trinomio: buscamos dos números que sumen -8 y multipliquen 15, que son -3 y -5)

Step 2: Simplificar la función

Cancelamos el factor común \( (x - 5) \) (para \( x eq5 \)):
\( f(x)=\frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)}=\frac{x + 5}{x - 3} \), con \( x eq5 \)

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero (excluyendo los factores cancelados)

El denominador de la función simplificada es \( x - 3 \). Igualamos a cero: \( x - 3 = 0\Rightarrow x = 3 \)

Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \):

Step 1: Factorizar el denominador

\( x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2} \) (trinomio cuadrado perfecto: \( (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2} \), aquí \( a = x \), \( b = 4 \))

Step 2: Simplificar la función

Cancelamos el factor común \( (x - 4) \) (para \( x eq4 \)):
\( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 4)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 4} \), con \( x eq4 \)

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero (excluyendo los factores cancelados)

El denominador de la función simplificada es \( x - 4 \). Igualamos a cero: \( x - 4 = 0\Rightarrow x = 4 \), pero como este factor se canceló, revisamos la discontinuidad. La función tiene una discontinuidad en \( x = 4 \), pero no hay asíntota vertical? Espera, no: cuando simplificamos, el denominador original tenía \( (x - 4)^{2} \), y después de cancelar un \( (x - 4) \), el denominador es \( (x - 4) \). Entonces, el valor que hace que el denominador simplificado sea cero es \( x = 4 \), pero debemos verificar si el numerador es cero en ese punto. El numerador simplificado es \( x + 1 \), en \( x = 4 \), \( 4 + 1 = 5 eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 4 \)? Espera, no, cuando factorizamos, el denominador original es \( (x - 4)^{2} \), y el numerador es \( (x + 1)(x - 4) \). Entonces, el factor \( (x - 4) \) se cancela, lo que significa que hay una discontinuidad removible en \( x = 4 \)? No, espera, si el numerador y el denominador tienen un factor común \( (x - 4) \), entonces en \( x = 4 \), la función no está definida, pero si el numerador después de cancelar no es cero en \( x = 4 \), entonces hay una asíntota vertical? No, la regla es: para una función racional \( f(x)=\frac{N(x)}{D(x)} \), las asíntotas verticales ocurren en los valores de \( x \) que hacen que \( D(x)=0 \) pero no \( N(x)=0 \), después de simplificar.

Entonces, para \( g(x) \):
Después de simplificar, \( g(x)=\frac{x + 1}{x - 4} \), con \( x eq4 \). El denominador \( x - 4 = 0\Rightarrow x = 4 \), y el numerador en \( x = 4 \) es \( 4 + 1 = 5 eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 4 \).

Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \):

Step 1: Factorizar numerador y denominador

- Numerador: \( t^{2}-2t - 15=(t - 5)(t + 3) \) (buscamos dos números que sumen -2 y multipliquen -15: -5 y 3)
- Denominador: \( t^{2}+t - 20=(t + 5)(t - 4) \) (buscamos dos números que sumen 1 y multipliquen -20: 5 y -4)

Step 2: Simplificar la función

No hay factores comunes entre el numerador y el denominador, así que la función ya está simplificada.

Step 3: Encontrar los valores que hacen que el denominador sea cero

Igualamos el denominador a cero: \( t^{2}+t - 20 = 0\Rightarrow(t + 5)(t - 4)=0\Rightarrow t=-5 \) o \( t = 4 \)

Ahora, verificamos si el numerador es cero en esos puntos:
- Para \( t=-5 \): \( (-5)^{2}-2(-5)-15 = 25 + 10 - 15 = 20 eq0 \)
- Para \( t = 4 \): \( 4^{2}-2(4)-15 = 16 - 8 - 15 = -7 eq0 \)

Así que las asíntotas verticales son \( t=-5 \) y \( t = 4 \)

Volviendo a \( f(x) \):
Después de simplificar, \( f(x)=\frac{x + 5}{x - 3} \), con \( x eq5 \). El denominador \( x - 3 = 0\Rightarrow x = 3 \), y el numerador en \( x = 3 \) es \( 3 + 5 = 8 eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 3 \). Además, en \( x = 5 \), el numerador original es \( 5^{2}-25 = 0 \), y el denominador original es \( 5^{2}-8(5)+15 = 25 - 40 + 15 = 0 \), así que \( x = 5 \) es un punto donde tanto el numerador como el denominador son cero, lo que significa que hay una discontinuidad removible (un agujero) en \( x = 5 \), no una asíntota vertical.

Resumen de las asíntotas verticales:

1. Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \):
- Simplificada: \( f(x)=\frac{x + 5}{x - 3} \) ( \( x eq5 \) )
- Asíntota vertical: \( x = 3 \)

2. Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \):
- Simplificada: \( g(x)=\frac{x + 1}{x - 4} \) ( \( x eq4 \) )
- Asíntota vertical: \( x = 4 \) (verificando que el numerador simplificado no es cero en \( x = 4 \))

3. Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \):
- No se puede simplificar (no hay factores comunes)
- Asíntotas verticales: \( t=-5 \) y \( t = 4 \)

Respuestas:

1. \( f(x) \): Asíntota vertical en \( \boldsymbol{x = 3} \)
2. \( g(x) \): Asíntota vertical en \( \boldsymbol{x = 4} \)
3. \( h(t) \): Asíntotas verticales en \( \boldsymbol{t=-5} \) y \( \boldsymbol{t = 4} \)

Answer:

Step 1: Factorizar el numerador y el denominador

Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \), factorizamos:

• Numerador: \( x^{2}-25=(x - 5)(x + 5) \) (diferencia de cuadrados: \( a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b) \))
• Denominador: \( x^{2}-8x + 15=(x - 3)(x - 5) \) (factorización de trinomio: buscamos dos números que sumen -8 y multipliquen 15, que son -3 y -5)

Step 2: Simplificar la función

Cancelamos el factor común \( (x - 5) \) (para \( x
eq5 \)):
\( f(x)=\frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)}=\frac{x + 5}{x - 3} \), con \( x
eq5 \)

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero (excluyendo los factores cancelados)

El denominador de la función simplificada es \( x - 3 \). Igualamos a cero: \( x - 3 = 0\Rightarrow x = 3 \)

Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \):

Step 1: Factorizar el denominador

\( x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2} \) (trinomio cuadrado perfecto: \( (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2} \), aquí \( a = x \), \( b = 4 \))

Step 2: Simplificar la función

Cancelamos el factor común \( (x - 4) \) (para \( x
eq4 \)):
\( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 4)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 4} \), con \( x
eq4 \)

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero (excluyendo los factores cancelados)

El denominador de la función simplificada es \( x - 4 \). Igualamos a cero: \( x - 4 = 0\Rightarrow x = 4 \), pero como este factor se canceló, revisamos la discontinuidad. La función tiene una discontinuidad en \( x = 4 \), pero no hay asíntota vertical? Espera, no: cuando simplificamos, el denominador original tenía \( (x - 4)^{2} \), y después de cancelar un \( (x - 4) \), el denominador es \( (x - 4) \). Entonces, el valor que hace que el denominador simplificado sea cero es \( x = 4 \), pero debemos verificar si el numerador es cero en ese punto. El numerador simplificado es \( x + 1 \), en \( x = 4 \), \( 4 + 1 = 5
eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 4 \)? Espera, no, cuando factorizamos, el denominador original es \( (x - 4)^{2} \), y el numerador es \( (x + 1)(x - 4) \). Entonces, el factor \( (x - 4) \) se cancela, lo que significa que hay una discontinuidad removible en \( x = 4 \)? No, espera, si el numerador y el denominador tienen un factor común \( (x - 4) \), entonces en \( x = 4 \), la función no está definida, pero si el numerador después de cancelar no es cero en \( x = 4 \), entonces hay una asíntota vertical? No, la regla es: para una función racional \( f(x)=\frac{N(x)}{D(x)} \), las asíntotas verticales ocurren en los valores de \( x \) que hacen que \( D(x)=0 \) pero no \( N(x)=0 \), después de simplificar.

Entonces, para \( g(x) \):
Después de simplificar, \( g(x)=\frac{x + 1}{x - 4} \), con \( x
eq4 \). El denominador \( x - 4 = 0\Rightarrow x = 4 \), y el numerador en \( x = 4 \) es \( 4 + 1 = 5
eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 4 \).

Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \):

Step 1: Factorizar numerador y denominador

• Numerador: \( t^{2}-2t - 15=(t - 5)(t + 3) \) (buscamos dos números que sumen -2 y multipliquen -15: -5 y 3)
• Denominador: \( t^{2}+t - 20=(t + 5)(t - 4) \) (buscamos dos números que sumen 1 y multipliquen -20: 5 y -4)

Step 2: Simplificar la función

No hay factores comunes entre el numerador y el denominador, así que la función ya está simplificada.

Step 3: Encontrar los valores que hacen que el denominador sea cero

Igualamos el denominador a cero: \( t^{2}+t - 20 = 0\Rightarrow(t + 5)(t - 4)=0\Rightarrow t=-5 \) o \( t = 4 \)

Ahora, verificamos si el numerador es cero en esos puntos:

• Para \( t=-5 \): \( (-5)^{2}-2(-5)-15 = 25 + 10 - 15 = 20

eq0 \)

• Para \( t = 4 \): \( 4^{2}-2(4)-15 = 16 - 8 - 15 = -7

eq0 \)

Así que las asíntotas verticales son \( t=-5 \) y \( t = 4 \)

Volviendo a \( f(x) \):
Después de simplificar, \( f(x)=\frac{x + 5}{x - 3} \), con \( x
eq5 \). El denominador \( x - 3 = 0\Rightarrow x = 3 \), y el numerador en \( x = 3 \) es \( 3 + 5 = 8
eq0 \), así que hay una asíntota vertical en \( x = 3 \). Además, en \( x = 5 \), el numerador original es \( 5^{2}-25 = 0 \), y el denominador original es \( 5^{2}-8(5)+15 = 25 - 40 + 15 = 0 \), así que \( x = 5 \) es un punto donde tanto el numerador como el denominador son cero, lo que significa que hay una discontinuidad removible (un agujero) en \( x = 5 \), no una asíntota vertical.

Resumen de las asíntotas verticales:

1. Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \):

• Simplificada: \( f(x)=\frac{x + 5}{x - 3} \) ( \( x

eq5 \) )

• Asíntota vertical: \( x = 3 \)

1. Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \):

• Simplificada: \( g(x)=\frac{x + 1}{x - 4} \) ( \( x

eq4 \) )

• Asíntota vertical: \( x = 4 \) (verificando que el numerador simplificado no es cero en \( x = 4 \))

1. Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \):

• No se puede simplificar (no hay factores comunes)
• Asíntotas verticales: \( t=-5 \) y \( t = 4 \)

Respuestas:

1. \( f(x) \): Asíntota vertical en \( \boldsymbol{x = 3} \)
2. \( g(x) \): Asíntota vertical en \( \boldsymbol{x = 4} \)
3. \( h(t) \): Asíntotas verticales en \( \boldsymbol{t=-5} \) y \( \boldsymbol{t = 4} \)