Question

1.9 rational functions & vertical asymptotes
ap precalculus
name:
ca #2
find the vertical asymptote(s) of the following rational functions if one exists
1.
$f(x)=\frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 15}$
2.
$g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^2 - 8x + 16}$
3.
$h(t)=\frac{t^2 - 2t - 15}{t^2 + t - 20}$
use the graph of $f$ to find the vertical asymptote(s). use limit notation.
4.
limit notation vertical asymptote(s):
5.
limit notation vertical asymptote(s):
6.
limit notation vertical asymptote(s):
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Explanation:

Step1: Analizar la función \( f(x) = \frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 15} \)

Factorizar numerador y denominador:
Numerador: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \) (diferencia de cuadrados).
Denominador: \( x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \) (factorización de trinomio).

Simplificar la función: \( f(x) = \frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)} = \frac{x + 5}{x - 3} \) (cancelar \( x - 5 \), \( x
eq 5 \)).

Vertical asymptote ocurre donde el denominador es cero (y numerador no es cero en ese punto).
Denominador \( x - 3 = 0 \implies x = 3 \).
Comprobar numerador en \( x = 3 \): \( 3 + 5 = 8
eq 0 \). Así, \( x = 3 \) es una asíntota vertical.

Step2: Analizar la función \( g(x) = \frac{(x + 1)(x - 4)}{x^2 - 8x + 16} \)

Factorizar denominador: \( x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \) (trinomio cuadrado perfecto).

Simplificar la función: \( g(x) = \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 1}{x - 4} \) (cancelar \( x - 4 \), \( x
eq 4 \)).

Vertical asymptote: denominador \( x - 4 = 0 \implies x = 4 \).
Numerador en \( x = 4 \): \( 4 + 1 = 5
eq 0 \). Así, \( x = 4 \) es una asíntota vertical.

Step3: Analizar la función \( h(t) = \frac{t^2 - 2t - 15}{t^2 + t - 20} \)

Factorizar numerador: \( t^2 - 2t - 15 = (t - 5)(t + 3) \) (factorización de trinomio).
Factorizar denominador: \( t^2 + t - 20 = (t + 5)(t - 4) \) (factorización de trinomio).

No hay factores comunes, así que la función no se simplifica.

Vertical asymptote: denominador \( (t + 5)(t - 4) = 0 \implies t = -5 \) o \( t = 4 \).
Comprobar numerador en \( t = -5 \): \( (-5)^2 - 2(-5) - 15 = 25 + 10 - 15 = 20
eq 0 \).
Comprobar numerador en \( t = 4 \): \( 4^2 - 2(4) - 15 = 16 - 8 - 15 = -7
eq 0 \).
Así, \( t = -5 \) y \( t = 4 \) son asíntotas verticales.

Step4: Analizar la gráfica 4 (usar notación de límite)

La gráfica muestra una asíntota vertical en \( x = a \) (donde la gráfica se "divide"). Observando la gráfica, la asíntota vertical es \( x = 2 \) (suponiendo la cuadrícula, la línea vertical donde la función tiende a \( \pm\infty \)).
Notación de límite: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \) (o viceversa, dependiendo de la gráfica). Así, asíntota vertical \( x = 2 \).

Step5: Analizar la gráfica 5

La gráfica tiene dos asíntotas verticales (donde las ramas de la función tienden a \( \pm\infty \)). Observando la simetría, las asíntotas verticales son \( x = -2 \) y \( x = 2 \) (suponiendo la cuadrícula).
Notación de límite: \( \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \), \( \lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty \); \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \). Así, asíntotas verticales \( x = -2 \) y \( x = 2 \).

Step6: Analizar la gráfica 6

La gráfica tiene una asíntota vertical en \( x = a \) (donde la función tiende a \( \pm\infty \)). Observando la gráfica, la asíntota vertical es \( x = 2 \) (donde la rama baja y la alta se separan).
Notación de límite: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \) (o similar). Así, asíntota vertical \( x = 2 \).

Answer:

1. Vertical asymptote de \( f(x) \): \( \boldsymbol{x = 3} \)
2. Vertical asymptote de \( g(x) \): \( \boldsymbol{x = 4} \)
3. Vertical asymptotes de \( h(t) \): \( \boldsymbol{t = -5} \) y \( \boldsymbol{t = 4} \)
4. Vertical asymptote (gráfica 4): \( \boldsymbol{x = 2} \) (con notación de límite: \( \lim_{x \to 2^\pm} f(x) = \pm\infty \))
5. Vertical asymptotes (gráfica 5): \( \boldsymbol{x = -2} \) y \( \boldsymbol{x = 2} \) (con notación de límite: \( \lim_{x \to \pm2^\pm} f(x) = \pm\infty \))
6. Vertical asymptote (gráfica 6): \( \boldsymbol{x = 2} \) (con notación de límite: \( \lim_{x \to 2^\pm} f(x) = \pm\infty \))