Question

1.9 rational functions & vertical asymptotes
ap precalculus
name:
ca #2
find the vertical asymptote(s) of the following rational functions, if one exists.
1.
$f(x)=\frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 15}$
2.
$g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^2 - 8x + 16}$
3.
$h(t)=\frac{t^2 - 2t - 15}{t^2 + t - 20}$

Explanation:

Step 1: Factorizar el numerador y el denominador

Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \), factorizamos:

• Numerador: \( x^{2}-25=(x - 5)(x + 5) \) (diferencia de cuadrados: \( a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b) \))
• Denominador: \( x^{2}-8x + 15=(x - 3)(x - 5) \) (factorización de trinomio: buscamos dos números que sumen -8 y multipliquen 15, que son -3 y -5)

Step 2: Simplificar la función racional

Cancelamos el factor común \( (x - 5) \) (para \( x
eq5 \)):
\( f(x)=\frac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 3)(x - 5)}=\frac{x + 5}{x - 3} \) (para \( x
eq5 \))

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero

El denominador de la función simplificada es \( x - 3 \). Igualamos a cero: \( x - 3 = 0\Rightarrow x = 3 \)

Step 4: Verificar el numerador en ese valor

Para \( x = 3 \), el numerador de la función simplificada es \( 3 + 5 = 8
eq0 \). Entonces, \( x = 3 \) es una asíntota vertical. También, debemos revisar el valor \( x = 5 \) (que cancelamos), pero en \( x = 5 \), el numerador original es \( 5^{2}-25 = 0 \) y el denominador original también es \( 5^{2}-8(5)+15 = 0 \), así que es un agujero (no una asíntota vertical).

Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \)

Step 1: Factorizar el denominador

\( x^{2}-8x + 16=(x - 4)^{2} \) (trinomio cuadrado perfecto: \( (a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2} \), aquí \( a = x \), \( b = 4 \))

Step 2: Simplificar la función racional

Cancelamos el factor común \( (x - 4) \) (para \( x
eq4 \)):
\( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 4)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 4} \) (para \( x
eq4 \))

Step 3: Encontrar el valor que hace que el denominador sea cero

El denominador de la función simplificada es \( x - 4 \). Igualamos a cero: \( x - 4 = 0\Rightarrow x = 4 \)

Step 4: Verificar el numerador en ese valor

Para \( x = 4 \), el numerador de la función simplificada es \( 4 + 1 = 5
eq0 \). Entonces, \( x = 4 \) es una asíntota vertical.

Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \)

Step 1: Factorizar numerador y denominador

• Numerador: \( t^{2}-2t - 15=(t - 5)(t + 3) \) (buscamos dos números que sumen -2 y multipliquen -15: -5 y 3)
• Denominador: \( t^{2}+t - 20=(t + 5)(t - 4) \) (buscamos dos números que sumen 1 y multipliquen -20: 5 y -4)

Step 2: Verificar factores comunes

No hay factores comunes entre el numerador y el denominador.

Step 3: Encontrar valores que hacen que el denominador sea cero

Igualamos el denominador a cero: \( (t + 5)(t - 4)=0\Rightarrow t=-5 \) o \( t = 4 \)

Step 4: Verificar el numerador en esos valores

• Para \( t=-5 \): numerador es \( (-5 - 5)(-5 + 3)=(-10)(-2)=20

eq0 \)

• Para \( t = 4 \): numerador es \( (4 - 5)(4 + 3)=(-1)(7)=-7

eq0 \)
Entonces, \( t=-5 \) y \( t = 4 \) son asíntotas verticales.

Answer:

1. Para \( f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-8x + 15} \), la asíntota vertical es \( x = 3 \) (y un agujero en \( x = 5 \))
2. Para \( g(x)=\frac{(x + 1)(x - 4)}{x^{2}-8x + 16} \), la asíntota vertical es \( x = 4 \) (y un agujero en \( x = 4 \) original, pero después de simplificar es una asíntota)
3. Para \( h(t)=\frac{t^{2}-2t - 15}{t^{2}+t - 20} \), las asíntotas verticales son \( t=-5 \) y \( t = 4 \)