Question

name djaumica dumet date 19/10/25

1. a. show how to solve the equation \\(\sqrt{2x + 1} - 4 = -1\\).

b. explain why \\(\sqrt{2x + 1} + 4 = -1\\) has no real solution.

6a. here is a graph of \\(g(x) = \sqrt3{x}\\).
graph of \\(g(x) = \sqrt3{x}\\) on a coordinate grid
\\(f(x) = \sqrt3{x}\\) to help you explain why...

Explanation:

4a. Solución de la ecuación $\boldsymbol{\sqrt{2x + 1} - 4 = -1}$

Step 1: Aislar la raíz cuadrada

Agregamos 4 a ambos lados de la ecuación para aislar el término con la raíz cuadrada:
$\sqrt{2x + 1} - 4 + 4 = -1 + 4$
Simplificando, obtenemos:
$\sqrt{2x + 1} = 3$

Step 2: Eliminar la raíz cuadrada

Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada (recordando que $(\sqrt{a})^2 = a$ para $a \geq 0$):
$(\sqrt{2x + 1})^2 = 3^2$
Simplificando, tenemos:
$2x + 1 = 9$

Step 3: Resolver para $\boldsymbol{x}$

Restamos 1 de ambos lados:
$2x + 1 - 1 = 9 - 1$
$2x = 8$

Dividimos ambos lados por 2:
$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$
$x = 4$

Step 4: Verificar la solución

Sustituimos $x = 4$ en la ecuación original para confirmar:
$\sqrt{2(4) + 1} - 4 = \sqrt{9} - 4 = 3 - 4 = -1$
La solución satisface la ecuación, así que $x = 4$ es válida.

1. Propiedad de la raíz cuadrada: La raíz cuadrada de un número real ($\sqrt{a}$) es siempre no negativa, es decir, $\sqrt{a} \geq 0$ para $a \geq 0$.
2. Análisis del término $\boldsymbol{\sqrt{2x + 1}}$: Para la ecuación $\sqrt{2x + 1} + 4 = -1$, reordenamos: $\sqrt{2x + 1} = -1 - 4 = -5$.
3. Contradicción: Pero $\sqrt{2x + 1} \geq 0$ (por la propiedad de la raíz cuadrada), y $-5 < 0$. No existe ningún número real $x$ que haga que $\sqrt{2x + 1}$ sea negativo, por lo que la ecuación no tiene solución real.

La función $g(x) = \sqrt[3]{x}$ (raíz cúbica) tiene las siguientes características:

• Dominio y rango: El dominio es todos los números reales ($\mathbb{R}$), ya que se puede extraer la raíz cúbica de números negativos, positivos o cero. El rango también es $\mathbb{R}$.
• Simetría: Es una función impar, lo que significa que $g(-x) = -g(x)$, por lo que su gráfica es simétrica con respecto al origen.
• Punto de intersección: Pasa por el origen $(0, 0)$, ya que $g(0) = \sqrt[3]{0} = 0$.
• Monotonía: Es estrictamente creciente en todo su dominio (a medida que $x$ aumenta, $g(x)$ también aumenta).

Si la pregunta fuera sobre, por ejemplo, la inversa o la interpretación de la gráfica, estas propiedades ayudan a explicar su comportamiento.

Answer:

La solución de la ecuación $\sqrt{2x + 1} - 4 = -1$ es $\boldsymbol{x = 4}$.

4b. Explicación por qué $\boldsymbol{\sqrt{2x + 1} + 4 = -1}$ no tiene solución real