Question

log5
the graph of ( f(x)=log _{5} x ) is shown below.
select all the statements that are true about ( f(x) ).
a the ( x )-intercept is ( (1,0) ).
b the vertical asymptote is at ( x = 5 ).
c the function is increasing from ( (-infty, infty) ).
d the vertical asymptote is at ( x = 0 ).
e range of the function is ( (0, infty) ).
f domain of the function is ( (0, infty) ).

Explanation:

Step1: Determinar el intercepto en \(x\)

Para encontrar el intercepto en \(x\), se establece \(y = f(x)=0\). Entonces, \(\log_{5}x = 0\). Utilizando la definición de logaritmo (\(\log_{a}b=c\) implica \(a^{c}=b\)), se tiene \(5^{0}=x\), lo que da \(x = 1\). Entonces, el intercepto en \(x\) es \((1,0)\).

Step2: Determinar la asíntota vertical

El dominio de \(y=\log_{5}x\) es \(x>0\). A medida que \(x\to0^{+}\), \(y=\log_{5}x\to-\infty\). Entonces, la asíntota vertical es \(x = 0\).

Step3: Analizar el dominio y rango

El dominio de \(y=\log_{5}x\) es \(x>0\) (es decir, \((0,\infty)\)) porque no se puede tomar el logaritmo de un número no - positivo. El rango de una función logarítmica \(y = \log_{a}x\) (\(a>0,a
eq1\)) es \((-\infty,\infty)\).

Step4: Analizar la monotonicidad

La función \(y=\log_{5}x\) tiene una derivada \(y'=\frac{1}{x\ln5}\). Dado que \(x>0\) y \(\ln5>0\), \(y'>0\) para todo \(x\) en el dominio \((0,\infty)\). Pero el dominio no es \((-\infty,\infty)\), la función está definida solo para \(x>0\).

Answer:

A. The \(x\) - intercept is \((1,0)\)
D. The vertical asymptote is at \(x = 0\)
F. Domain of the function is \((0,\infty)\)