Question

identify the domain and range of each. then sketch the graph.
$y = 3\sqrt3{x - 4}$
(three images with graphs and domain/range descriptions, each with a radio button option)

Explanation:

Step 1: Analizar la función \( y = 3\sqrt[3]{x - 4} \)

La función \( y=\sqrt[3]{u} \) tiene dominio \( u\in\mathbb{R} \) y rango \( y\in\mathbb{R} \). Aquí \( u = x - 4 \). Como \( x-4 \) es un polinomio de primer grado, para cualquier valor real de \( x \), \( u \) está definido. Entonces, el dominio de \( y = 3\sqrt[3]{x - 4} \) es \( \{x|x\in\mathbb{R}\} \).

Step 2: Analizar el rango

Dado que \( \sqrt[3]{x - 4} \) puede tomar cualquier valor real (ya que para cualquier \( z\in\mathbb{R} \), existe un \( x=z^{3}+4 \) tal que \( \sqrt[3]{x - 4}=z \)), y al multiplicar por \( 3 \) (una constante no - cero), el rango de \( y = 3\sqrt[3]{x - 4} \) es \( \{y|y\in\mathbb{R}\} \).

Step 3: Analizar la transformación de la gráfica

La función \( y = 3\sqrt[3]{x - 4} \) es una transformación de la función base \( y=\sqrt[3]{x} \). La transformación \( y = a\sqrt[3]{x - h} \), donde \( a = 3 \) (alargamiento vertical por un factor de \( 3 \)) y \( h = 4 \) (traslación horizontal hacia la derecha de \( 4 \) unidades).

La gráfica de \( y=\sqrt[3]{x} \) pasa por el origen \( (0,0) \). Para \( y = 3\sqrt[3]{x - 4} \), cuando \( x = 4 \), \( y=3\sqrt[3]{4 - 4}=0 \).

Answer:

La primera opción es correcta. Domain: {All real numbers.}, Range: {All real numbers.}