Question

the graph shows g(x), which is a transformation of f(x) = |x|. write the function rule for g(x). write your answer in the form a|x - h| + k, where a, h, and k are integers or simplified fractions. g(x) =

Explanation:

Step1: Encontrar el vértice

El vértice de la función \( f(x) = |x| \) es \( (0,0) \). Para \( g(x) \), el vértice (el punto donde la gráfica cambia de dirección) es \( (5,0) \) (ya que en la gráfica, el punto de cambio está en \( x = 5 \), \( y = 0 \)). Entonces, \( h = 5 \) y \( k = 0 \) en la forma \( a|x - h| + k \).

Step2: Determinar el valor de \( a \)

La pendiente de la parte lineal de la función valor absoluto. Tomemos dos puntos: por ejemplo, el vértice \( (5,0) \) y otro punto, como \( (0, -5) \) (de la gráfica, cuando \( x = 0 \), \( y = -5 \)). La pendiente \( m \) se calcula como \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Usando \( (5,0) \) y \( (0, -5) \): \( \frac{-5 - 0}{0 - 5} = \frac{-5}{-5} = 1 \)? Espera, no, veamos la dirección. Wait, la gráfica de \( f(x) = |x| \) tiene pendiente 1 a la derecha del vértice y -1 a la izquierda. Pero en \( g(x) \), veamos: de \( x = 5 \) hacia la izquierda, la línea va hacia abajo? Wait, no, la gráfica en la imagen: el vértice está en \( (5,0) \), y a la izquierda de \( x = 5 \), la línea sube? Wait, no, la gráfica muestra que cuando \( x = 0 \), \( y = -5 \)? Wait, no, en la gráfica, el eje y: el punto en \( x = 0 \) parece ser \( y = -5 \)? Wait, no, la cuadrícula: cada cuadro es 1 unidad. El vértice es en \( (5,0) \). Tomemos el punto \( (0, -5) \): cuando \( x = 0 \), \( y = -5 \). Entonces, usando la forma \( g(x) = a|x - 5| + 0 \), sustituimos \( x = 0 \), \( y = -5 \):

\( -5 = a|0 - 5| + 0 \)

\( -5 = a(5) \)

Entonces, \( a = -1 \)? Wait, no, wait, la pendiente: de \( (5,0) \) a \( (6, -1) \): la pendiente es \( \frac{-1 - 0}{6 - 5} = -1 \). Y de \( (5,0) \) a \( (4, -1) \): \( \frac{-1 - 0}{4 - 5} = \frac{-1}{-1} = 1 \)? Wait, no, la gráfica: a la derecha de \( x = 5 \), la línea baja (pendiente -1), y a la izquierda de \( x = 5 \), la línea sube (pendiente 1)? Wait, no, en la imagen, la gráfica de \( g(x) \): el vértice es en \( (5,0) \), y a la izquierda de \( x = 5 \), la línea va hacia abajo? Wait, no, la imagen muestra que la gráfica tiene un vértice en \( (5,0) \), y a la izquierda de \( x = 5 \), la línea va hacia abajo? Wait, no, la gráfica en la imagen: cuando \( x = 0 \), \( y = -5 \), y cuando \( x = 10 \), \( y = -5 \)? Wait, no, la gráfica: el vértice es en \( (5,0) \), y la línea a la izquierda de \( x = 5 \) (hacia \( x = 0 \)) va de \( (5,0) \) a \( (0, -5) \), y a la derecha de \( x = 5 \) (hacia \( x = 10 \)) va de \( (5,0) \) a \( (10, -5) \). Entonces, la pendiente a la izquierda: \( \frac{-5 - 0}{0 - 5} = \frac{-5}{-5} = 1 \)? No, \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \): \( (x_1, y_1) = (5,0) \), \( (x_2, y_2) = (0, -5) \): \( \frac{-5 - 0}{0 - 5} = \frac{-5}{-5} = 1 \). Pero la gráfica de \( f(x) = |x| \) tiene pendiente 1 a la derecha y -1 a la izquierda. Pero aquí, la pendiente a la izquierda es 1? Wait, no, la gráfica de \( g(x) \) parece ser una reflexión? No, wait, la forma \( a|x - h| + k \): si \( a \) es negativo, la gráfica se refleja sobre el eje x. Wait, en la gráfica de \( g(x) \), el vértice es \( (5,0) \), y la gráfica abajo del eje x? Wait, no, en la imagen, el eje y: la gráfica en \( x = 0 \) está en \( y = -5 \), y en \( x = 10 \) en \( y = -5 \). Entonces, la función es \( g(x) = -|x - 5| \)? Wait, no, cuando \( x = 5 \), \( g(5) = 0 \). Cuando \( x = 0 \), \( g(0) = -|0 - 5| = -5 \), lo que coincide. Cuando \( x = 10 \), \( g(10) = -|10 - 5| = -5 \), lo que también coincide. Y la pendiente: a la derecha de \( x = 5 \), la función \( -|x - 5| \) tiene pendiente -1 (ya que la derivada de \( -|x - 5| \) a la derecha de \( x = 5 \) es -1), y a la izquierda es 1? Wait, no, la derivada de \( -|x - 5| \) a la izquierda de \( x = 5 \) es 1? Wait, no, la función \( -|x - 5| \) es igual a \( -(x - 5) \) cuando \( x \geq 5 \) (entonces \( -x + 5 \), pendiente -1) y \( -(-(x - 5)) = x - 5 \) cuando \( x < 5 \) (entonces \( x - 5 \), pendiente 1). Pero en la gráfica, cuando \( x < 5 \), la línea va de \( (5,0) \) a \( (0, -5) \), que tiene pendiente \( \frac{-5 - 0}{0 - 5} = 1 \), lo que coincide con \( x - 5 \) (pendiente 1). Y cuando \( x > 5 \), de \( (5,0) \) a \( (10, -5) \), pendiente \( \frac{-5 - 0}{10 - 5} = -1 \), lo que coincide con \( -x + 5 \) (pendiente -1). Entonces, \( a = -1 \), \( h = 5 \), \( k = 0 \).

Entonces, la función \( g(x) = -|x - 5| + 0 \), es decir, \( g(x) = -|x - 5| \).

Wait, pero en la gráfica, cuando \( x = 5 \), \( y = 0 \); cuando \( x = 4 \), \( y = -1 \); cuando \( x = 6 \), \( y = -1 \); cuando \( x = 0 \), \( y = -5 \); cuando \( x = 10 \), \( y = -5 \). Entonces, la ecuación es \( g(x) = -|x - 5| \).

Answer:

\( g(x) = -|x - 5| \)