factor the following quadratic expressions.

section a
1) $x^2 + 7x - 30$
2) $x^2 + 9x + 20$
3) $x^2 + 8x - 9$
4) $x^2 - 18x + 80$
5) $x^2 - 11x + 28$
6) $x^2 + 6x - 72$
7) $x^2 - 9x - 22$
8) $x^2 - x - 12$
9) $x^2 + 3x - 108$
10) $x^2 - 17x + 72$
11) $x^2 - x - 42$
12) $x^2 - 15x + 56$

section b
1) $2x^2 + 3x + 1$
2) $2x^2 + 5x + 2$
3) $2x^2 + 7x + 3$
4) $2x^2 + 7x + 5$
5) $2x^2 + 9x + 7$
6) $2x^2 + 5x + 3$
7) $2x^2 + 8x + 6$
8) $2x^2 + 9x + 10$
9) $2x^2 + 16x + 14$
10) $2x^2 + 18x + 24$
11) $2x^2 + 12x + 18$
12) $2x^2 + 14x + 20$
13) $2x^2 + 22x + 36$
14) $2x^2 + 28x + 48$
15) $2x^2 + 26x + 72$

section c
1) $2x^2 + x - 1$
2) $2x^2 + x - 3$
3) $2x^2 + 9x - 5$
4) $2x^2 - 3x - 2$
5) $2x^2 - 13x - 24$
6) $3x^2 - 14x - 5$
7) $3x^2 - 8x - 11$
8) $2x^2 - 14x + 12$
9) $3x^2 - 21x + 36$
10) $5x^2 - 41x - 8$
11) $3x^2 - 2x - 21$
12) $2x^2 + 2x - 12$
13) $2x^2 - 11x + 15$
14) $3x^2 - 34x - 24$
15) $5x^2 - 27x + 10$

section d
1) $4x^2 + 12x + 8$
2) $6x^2 + 23x + 20$
3) $6x^2 + 24x + 18$
4) $4x^2 + 31x + 21$
5) $4x^2 + 22x + 18$
6) $8x^2 + 22x + 15$
7) $8x^2 + 36x + 16$
8) $6x^2 - 5x - 4$
9) $6x^2 - 16x + 15$
10) $8x^2 + 16x - 24$
11) $7x^2 + 52x - 32$
12) $6x^2 - 55x + 56$
13) $9x^2 + 36x + 35$
14) $12x^2 - 42x + 30$
15) $48x^2 + 72x + 24$
16) $18x^2 + 51x + 8$
17) $20x^2 + 27x + 9$
18) $30x^2 - 32x + 8$
19) $36x^2 + 42x - 8$
20) $24x^2 - 50x - 14$
21) $-2x^2 + x + 21$

Question

factor the following quadratic expressions.

section a
1) $x^2 + 7x - 30$
2) $x^2 + 9x + 20$
3) $x^2 + 8x - 9$
4) $x^2 - 18x + 80$
5) $x^2 - 11x + 28$
6) $x^2 + 6x - 72$
7) $x^2 - 9x - 22$
8) $x^2 - x - 12$
9) $x^2 + 3x - 108$
10) $x^2 - 17x + 72$
11) $x^2 - x - 42$
12) $x^2 - 15x + 56$

section b
1) $2x^2 + 3x + 1$
2) $2x^2 + 5x + 2$
3) $2x^2 + 7x + 3$
4) $2x^2 + 7x + 5$
5) $2x^2 + 9x + 7$
6) $2x^2 + 5x + 3$
7) $2x^2 + 8x + 6$
8) $2x^2 + 9x + 10$
9) $2x^2 + 16x + 14$
10) $2x^2 + 18x + 24$
11) $2x^2 + 12x + 18$
12) $2x^2 + 14x + 20$
13) $2x^2 + 22x + 36$
14) $2x^2 + 28x + 48$
15) $2x^2 + 26x + 72$

section c
1) $2x^2 + x - 1$
2) $2x^2 + x - 3$
3) $2x^2 + 9x - 5$
4) $2x^2 - 3x - 2$
5) $2x^2 - 13x - 24$
6) $3x^2 - 14x - 5$
7) $3x^2 - 8x - 11$
8) $2x^2 - 14x + 12$
9) $3x^2 - 21x + 36$
10) $5x^2 - 41x - 8$
11) $3x^2 - 2x - 21$
12) $2x^2 + 2x - 12$
13) $2x^2 - 11x + 15$
14) $3x^2 - 34x - 24$
15) $5x^2 - 27x + 10$

section d
1) $4x^2 + 12x + 8$
2) $6x^2 + 23x + 20$
3) $6x^2 + 24x + 18$
4) $4x^2 + 31x + 21$
5) $4x^2 + 22x + 18$
6) $8x^2 + 22x + 15$
7) $8x^2 + 36x + 16$
8) $6x^2 - 5x - 4$
9) $6x^2 - 16x + 15$
10) $8x^2 + 16x - 24$
11) $7x^2 + 52x - 32$
12) $6x^2 - 55x + 56$
13) $9x^2 + 36x + 35$
14) $12x^2 - 42x + 30$
15) $48x^2 + 72x + 24$
16) $18x^2 + 51x + 8$
17) $20x^2 + 27x + 9$
18) $30x^2 - 32x + 8$
19) $36x^2 + 42x - 8$
20) $24x^2 - 50x - 14$
21) $-2x^2 + x + 21$

Accepted Answer

{ "quality": "clear", "question_count": 63, "skills_matched": [ "step_cot", "explain_then_answer", "quick" ], "needs_drawing": false, "concepts_used": [], "new_concepts": [ "Quadratic Factoring", "Cross Multiplication" ], "current_concepts": [ "Quadratic Factoring", "Cross Multiplication" ] } 由於題目包含大量二次三項式因式分解，我們將依據各個 Section（A, B, C, D）進行系統化的因式分解計算。 ## Section A：首項係數為 1 的二次式因式分解尋找兩個數，其積等於常數項，且其和等於一次項係數： 1) $x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$ 2) $x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)$ 3) $x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1)$ 4) $x^2 - 18x + 80 = (x - 8)(x - 10)$ 5) $x^2 - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)$ 6) $x^2 + 6x - 72 = (x + 12)(x - 6)$ 7) $x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x + 2)$ 8) $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$ 9) $x^2 + 3x - 108 = (x + 12)(x - 9)$ 10) $x^2 - 17x + 72 = (x - 8)(x - 9)$ 11) $x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6)$ 12) $x^2 - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8)$ ## Section B：首項係數為 2 且常數項為正的二次式因式分解利用十字相乘法或提取公因式： 1) $2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$ 2) $2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)$ 3) $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ 4) $2x^2 + 7x + 5 = (2x + 5)(x + 1)$ 5) $2x^2 + 9x + 7 = (2x + 7)(x + 1)$ 6) $2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$ 7) $2x^2 + 8x + 6 = 2(x^2 + 4x + 3) = 2(x + 1)(x + 3)$ 8) $2x^2 + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2)$ 9) $2x^2 + 16x + 14 = 2(x^2 + 8x + 7) = 2(x + 1)(x + 7)$ 10) $2x^2 + 10x + 24$（原圖為 $2x^2 + 10x + 24$，此式在實數範圍內無法分解為有理係數因式，若為 $2x^2 + 10x + 12$ 則為 $2(x+2)(x+3)$；若為 $2x^2 - 10x + 12$ 則為 $2(x-2)(x-3)$。依原圖字樣 $2x^2 + 10x + 24 = 2(x^2 + 5x + 12)$） 11) $2x^2 + 12x + 18 = 2(x^2 + 6x + 9) = 2(x + 3)^2$ 12) $2x^2 + 14x + 20 = 2(x^2 + 7x + 10) = 2(x + 2)(x + 5)$ 13) $2x^2 + 22x + 36 = 2(x^2 + 11x + 18) = 2(x + 2)(x + 9)$ 14) $2x^2 + 28x + 48 = 2(x^2 + 14x + 24) = 2(x + 2)(x + 12)$ 15) $2x^2 + 26x + 72 = 2(x^2 + 13x + 36) = 2(x + 4)(x + 9)$ ## Section C：首項係數不為 1 且常數項可正可負的二次式因式分解 1) $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$ 2) $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$ 3) $2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5)$ 4) $2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)$ 5) $2x^2 - 13x - 24 = (2x + 3)(x - 8)$ 6) $3x^2 - 14x - 5 = (3x + 1)(x - 5)$ 7) $3x^2 - 8x - 11 = (3x - 11)(x + 1)$ 8) $2x^2 - 14x + 12 = 2(x^2 - 7x + 6) = 2(x - 1)(x - 6)$ 9) $3x^2 - 21x + 36 = 3(x^2 - 7x + 12) = 3(x - 3)(x - 4)$ 10) $5x^2 - 41x - 8 = (5x + 1)(x - 8)$ 11) $3x^2 - 2x - 21 = (3x + 7)(x - 3)$ 12) $2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x + 3)(x - 2)$ 13) $2x^2 - 11x + 15 = (2x - 5)(x - 3)$ 14) $3x^2 - 34x - 24 = (3x + 2)(x - 12)$ 15) $5x^2 - 27x + 10 = (5x - 2)(x - 5)$ ## Section D：更複雜首項係數的二次式因式分解與挑戰題 1) $4x^2 + 12x + 8 = 4(x^2 + 3x + 2) = 4(x + 1)(x + 2)$ 2) $6x^2 + 23x + 20 = (2x + 5)(3x + 4)$ 3) $6x^2 + 24x + 18 = 6(x^2 + 4x + 3) = 6(x + 1)(x + 3)$ 4) $4x^2 + 31x + 21 = (4x + 3)(x + 7)$ 5) $4x^2 + 22x + 18 = 2(2x^2 + 11x + 9) = 2(2x + 9)(x + 1)$ 6) $8x^2 - 22x + 15 = (2x - 3)(4x - 5)$ 7) $8x^2 + 36x + 16 = 4(2x^2 + 9x + 4) = 4(2x + 1)(x + 4)$ 8) $6x^2 - 5x - 4 = (2x + 1)(3x - 4)$ 9) $6x^2 - 16x + 10$（原圖為 $6x^2 - 16x + 15$，此式在實數範圍內無法分解。若為 $6x^2 - 16x + 10$，則為 $2(3x - 5)(x - 1)$） 10) $8x^2 + 16x - 24 = 8(x^2 + 2x - 3) = 8(x + 3)(x - 1)$ 11) $7x^2 + 52x - 32 = (7x - 4)(x + 8)$ 12) $6x^2 - 55x + 56 = (6x - 7)(x - 8)$ 13) $9x^2 + 36x + 35 = (3x + 5)(3x + 7)$ 14) $12x^2 - 42x + 30 = 6(2x^2 - 7x + 5) = 6(2x - 5)(x - 1)$ 15) $48x^2 + 72x + 24 = 24(2x^2 + 3x + 1) = 24(2x + 1)(x + 1)$ 16) $18x^2 + 51x + 8$（原圖為 $18x^2 + 51x + 8$，此式無法分解。若為 $18x^2 + 51x + 8$ 則保持原樣；若為 $18x^2 + 51x + 30 = 3(6x^2 + 17x + 10) = 3(2x + 5)(3x + 2)$） 17) $20x^2 + 27x + 9 = (4x + 3)(5x + 3)$ 18) $30x^2 - 32x + 8 = 2(15x^2 - 16x + 4) = 2(3x - 2)(5x - 2)$ 19) $36x^2 + 42x - 8 = 2(18x^2 + 21x - 4) = 2(6x - 1)(3x + 4)$ 20) $24x^2 - 50x - 14 = 2(12x^2 - 25x - 7) = 2(4x + 1)(3x - 7)$ 21) $-2x^2 + x + 21 = -(2x^2 - x - 21) = -(2x - 7)(x + 3)$ ## Section A 1) $(x + 10)(x - 3)$ 2) $(x + 4)(x + 5)$ 3) $(x + 9)(x - 1)$ 4) $(x - 8)(x - 10)$ 5) $(x - 4)(x - 7)$ 6) $(x + 12)(x - 6)$ 7) $(x - 11)(x + 2)$ 8) $(x - 4)(x + 3)$ 9) $(x + 12)(x - 9)$ 10) $(x - 8)(x - 9)$ 11) $(x - 7)(x + 6)$ 12) $(x - 7)(x - 8)$ ## Section B 1) $(2x + 1)(x + 1)$ 2) $(2x + 1)(x + 2)$ 3) $(2x + 1)(x + 3)$ 4) $(2x + 5)(x + 1)$ 5) $(2x + 7)(x + 1)$ 6) $(2x + 3)(x + 1)$ 7) $2(x + 1)(x + 3)$ 8) $(2x + 5)(x + 2)$ 9) $2(x + 1)(x + 7)$ 10) $2(x^2 + 5x + 12)$ 11) $2(x + 3)^2$ 12) $2(x + 2)(x + 5)$ 13) $2(x + 2)(x + 9)$ 14) $2(x + 2)(x + 12)$ 15) $2(x + 4)(x + 9)$ ## Section C 1) $(2x - 1)(x + 1)$ 2) $(2x + 3)(x - 1)$ 3) $(2x - 1)(x + 5)$ 4) $(2x + 1)(x - 2)$ 5) $(2x + 3)(x - 8)$ 6) $(3x + 1)(x - 5)$ 7) $(3x - 11)(x + 1)$ 8) $2(x - 1)(x - 6)$ 9) $3(x - 3)(x - 4)$ 10) $(5x + 1)(x - 8)$ 11) $(3x + 7)(x - 3)$ 12) $2(x + 3)(x - 2)$ 13) $(2x - 5)(x - 3)$ 14) $(3x + 2)(x - 12)$ 15) $(5x - 2)(x - 5)$ ## Section D 1) $4(x + 1)(x + 2)$ 2) $(2x + 5)(3x + 4)$ 3) $6(x + 1)(x + 3)$ 4) $(4x + 3)(x + 7)$ 5) $2(2x + 9)(x + 1)$ 6) $(2x - 3)(4x - 5)$ 7) $4(2x + 1)(x + 4)$ 8) $(2x + 1)(3x - 4)$ 9) $6x^2 - 16x + 15$ （無法在有理數範圍內分解） 10) $8(x + 3)(x - 1)$ 11) $(7x - 4)(x + 8)$ 12) $(6x - 7)(x - 8)$ 13) $(3x + 5)(3x + 7)$ 14) $6(2x - 5)(x - 1)$ 15) $24(2x + 1)(x + 1)$ 16) $18x^2 + 51x + 8$ （無法在有理數範圍內分解） 17) $(4x + 3)(5x + 3)$ 18) $2(3x - 2)(5x - 2)$ 19) $2(6x - 1)(3x + 4)$ 20) $2(4x + 1)(3x - 7)$ 21) $-(2x - 7)(x + 3)$ { "subject": "Mathematics", "question_type": "Multi-part", "knowledge_point": [ "Mathematics", "Algebra", "Quadratic Factoring" ] }

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Question

Explanation:

Section A：首項係數為 1 的二次式因式分解

Section B：首項係數為 2 且常數項為正的二次式因式分解

Section C：首項係數不為 1 且常數項可正可負的二次式因式分解

Section D：更複雜首項係數的二次式因式分解與挑戰題

Answer:

Section A：首項係數為 1 的二次式因式分解

Section B：首項係數為 2 且常數項為正的二次式因式分解

Section C：首項係數不為 1 且常數項可正可負的二次式因式分解

Section D：更複雜首項係數的二次式因式分解與挑戰題

Section A

Section B

Section C

Section D