Question

what is the equation of the line in slope-intercept form that is perpendicular to the line $y = \frac{3}{4}x - 2$ and passes through the point $(-12, 10)$?
\bigcirc $y = -\frac{4}{3}x - 6$
\bigcirc $y = -\frac{4}{3}x + 6$
\bigcirc $y = \frac{4}{3}x + 26$
\bigcirc $y = \frac{4}{3}x + 10$

Explanation:

Step1: Encontrar la pendiente perpendicular

La pendiente de la línea dada \( y = \frac{3}{4}x - 2 \) es \( m_1=\frac{3}{4} \). La pendiente de una línea perpendicular \( m_2 \) satisface \( m_1 \cdot m_2=-1 \). Entonces, \( \frac{3}{4} \cdot m_2=-1 \), resolviendo para \( m_2 \): \( m_2 = -\frac{4}{3} \).

Step2: Usar la ecuación punto - pendiente

La ecuación punto - pendiente es \( y - y_1 = m(x - x_1) \), donde \( (x_1,y_1)=(-12,10) \) y \( m = -\frac{4}{3} \). Sustituyendo: \( y - 10 = -\frac{4}{3}(x + 12) \).

Step3: Convertir a forma pendiente - intersección

Desarrollar la ecuación: \( y - 10 = -\frac{4}{3}x-16 \). Sumar 10 a ambos lados: \( y = -\frac{4}{3}x - 6 \)? No, espera, \( -16 + 10=-6 \)? No, \( -16+10=-6 \)? Wait, \( - \frac{4}{3}\times12=-16 \), entonces \( y-10 = -\frac{4}{3}x - 16 \), sumar 10: \( y = -\frac{4}{3}x-16 + 10=-\frac{4}{3}x - 6 \)? Wait, no, hay un error. Wait, \( -16 + 10=-6 \)? No, \( -16+10=-6 \)? Wait, no, \( - \frac{4}{3}\times12=-16 \), entonces \( y - 10=-\frac{4}{3}x-16 \), sumar 10: \( y=-\frac{4}{3}x-16 + 10=-\frac{4}{3}x - 6 \)? Wait, no, la segunda opción es \( y = -\frac{4}{3}x+6 \). Wait, me equivoqué en la operación. \( -16 + 10=-6 \)? No, \( -16+10=-6 \)? Wait, no, \( - \frac{4}{3}\times12=-16 \), entonces \( y - 10=-\frac{4}{3}x-16 \), sumar 10: \( y=-\frac{4}{3}x-16 + 10=-\frac{4}{3}x - 6 \)? Wait, no, la primera opción es \( y = -\frac{4}{3}x - 6 \), pero wait, let's check the options. Wait, the point is (-12,10). Let's plug x = -12 into the first option: \( y=-\frac{4}{3}(-12)-6 = 16 - 6 = 10 \), which matches. Wait, but let's check the second option: \( y = -\frac{4}{3}x+6 \), when x=-12, \( y = -\frac{4}{3}(-12)+6=16 + 6=22
eq10 \). Wait, then the first option is correct? But wait, my calculation: \( y - 10=-\frac{4}{3}(x + 12) \), \( y-10=-\frac{4}{3}x-16 \), \( y=-\frac{4}{3}x-16 + 10=-\frac{4}{3}x - 6 \), which is the first option. Wait, but let's verify with the point (-12,10): \( y = -\frac{4}{3}(-12)-6=16 - 6 = 10 \), correct.

Answer:

A. \( y = -\frac{4}{3}x - 6 \)