Question

use the intermediate value theorem to determine whether the given polynomial has at least one zero within the given interval.
a) ( f(x)=-x^{4}+4 ) between ( x = 1 ) and 3.
o no, there is no zero between ( x = 1 ) and 3.
o unable to determine.
o yes, there is at least one zero between ( x = 1 ) and 3.

Explanation:

Step1: Calcular \( f(1) \)

Sustituir \( x = 1 \) en \( f(x)=-x^{4}+4 \):
\( f(1)=-(1)^{4}+4=-1 + 4=3 \)

Step2: Calcular \( f(3) \)

Sustituir \( x = 3 \) en \( f(x)=-x^{4}+4 \):
\( f(3)=-(3)^{4}+4=-81 + 4=-77 \)

Step3: Aplicar el Teorema del Valor Intermedio

El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función \( y = f(x) \) es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\), y \( k \) es un número entre \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe al menos un número \( c\) en el intervalo \((a,b)\) tal que \( f(c)=k \). En este caso, la función \( f(x)=-x^{4}+4 \) es un polinomio, por lo que es continua en \( \mathbb{R} \), en particular en \([1,3]\). Como \( f(1)=3>0 \) y \( f(3)=-77<0 \), y \( 0 \) está entre \( f(1) \) y \( f(3) \), entonces existe al menos un \( c\in(1,3) \) tal que \( f(c) = 0 \).

Answer:

Yes, there is at least one zero between \( x = 1 \) and \( 3 \).