Question

is it rational?
remember that a bar over digits indicates a recurring decimal number, e.g. ( 0.256 = 0.2565656... )

1. for each of the numbers below, decide whether it is rational or irrational.

explain your reasoning in detail.
5
rational
i can be written as a fraction ( \frac{5}{1} )
( \frac{5}{7} )
rational
its radio or two integers (5 and 7)
0.575
rational
it is a terminating decimal, which means it can be written as a fraction ( \frac{575}{1000} )
( sqrt{5} )
irrational
5 is not a perfect square so ( sqrt{5} ) is a non - repeating, non - terminating decimal
( 5+sqrt{7} )
irrational
adding a rational number (5) to an irrational number ( (sqrt{7}) ) makes the result irrational
( \frac{sqrt{10}}{2} )
irrational
( sqrt{10} ) is irrational, and dividing it by 2 (a rational number) keeps it irrational
5.75....
( (5 + sqrt{5})(5-sqrt{5}) )
( (7+sqrt{5})(5-sqrt{5}) )
student materials classifying rational and irrational numbers
© 2015 mars, shell center, university of nottingham

Explanation:

Explicaciones breves:

• 5.75…: Si el número es \(5.757575\ldots\) (con \(75\) repetidos), entonces es racional. Un número decimal periódico (recurrente) se puede expresar como una fracción. Por ejemplo, si \(x = 5.757575\ldots\), entonces \(100x=575.757575\ldots\). Restando \(x\) de \(100x\): \(100x - x=575.7575\ldots - 5.7575\ldots\), \(99x = 570\), \(x=\frac{570}{99}=\frac{190}{33}\). Si el número es \(5.75\) sin repetición (no se especifica claramente la periodicidad, pero por el formato de la tabla se asume que es \(5.\overline{75}\)), es racional.
• \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Usando la fórmula \((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\), aquí \(a = 5\) y \(b=\sqrt{5}\). Entonces \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})=5^{2}-(\sqrt{5})^{2}=25 - 5=20\). 20 se puede escribir como \(\frac{20}{1}\), por lo que es racional.
• \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Expandimos usando el método FOIL (primero, exterior, interior, último). \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=7\times5-7\sqrt{5}+5\sqrt{5}-(\sqrt{5})^{2}=35-2\sqrt{5}- 5=30-2\sqrt{5}\). \(\sqrt{5}\) es irracional. Un número de la forma \(a + b\sqrt{5}\) (\(a = 30\), \(b=- 2\)) donde \(b

eq0\) es irracional.

Respuesta:

• 5.75…: Racional (si es un decimal periódico).
• \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Racional.
• \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Irracional.

Answer:

Explicaciones breves:

• 5.75…: Si el número es \(5.757575\ldots\) (con \(75\) repetidos), entonces es racional. Un número decimal periódico (recurrente) se puede expresar como una fracción. Por ejemplo, si \(x = 5.757575\ldots\), entonces \(100x=575.757575\ldots\). Restando \(x\) de \(100x\): \(100x - x=575.7575\ldots - 5.7575\ldots\), \(99x = 570\), \(x=\frac{570}{99}=\frac{190}{33}\). Si el número es \(5.75\) sin repetición (no se especifica claramente la periodicidad, pero por el formato de la tabla se asume que es \(5.\overline{75}\)), es racional.
• \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Usando la fórmula \((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\), aquí \(a = 5\) y \(b=\sqrt{5}\). Entonces \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})=5^{2}-(\sqrt{5})^{2}=25 - 5=20\). 20 se puede escribir como \(\frac{20}{1}\), por lo que es racional.
• \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Expandimos usando el método FOIL (primero, exterior, interior, último). \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=7\times5-7\sqrt{5}+5\sqrt{5}-(\sqrt{5})^{2}=35-2\sqrt{5}- 5=30-2\sqrt{5}\). \(\sqrt{5}\) es irracional. Un número de la forma \(a + b\sqrt{5}\) (\(a = 30\), \(b=- 2\)) donde \(b

eq0\) es irracional.

Respuesta:

• 5.75…: Racional (si es un decimal periódico).
• \((5 + \sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Racional.
• \((7+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})\): Irracional.