Question

quiz: exponential functions hs: algebra 2b m (sequential) / 3:exponenti (graph of an exponential function) options: y = 2^{x + 1} + 2; y = 2^{x - 1} + 2; y = 2^{x + 2} + 1; y = 2^{x - 2} + 1

Explanation:

Step1: Analizar la intersección con el eje y

Para encontrar la intersección con el eje \( y \), establecemos \( x = 0 \) en cada ecuación.

• Para \( y = 2^{x + 1}+2 \): \( y = 2^{0 + 1}+2 = 2 + 2 = 4 \)
• Para \( y = 2^{x - 1}+2 \): \( y = 2^{0 - 1}+2=\frac{1}{2}+2 = 2.5 \)
• Para \( y = 2^{x + 2}+1 \): \( y = 2^{0 + 2}+1 = 4 + 1 = 5 \)
• Para \( y = 2^{x - 2}+1 \): \( y = 2^{0 - 2}+1=\frac{1}{4}+1 = 1.25 \) (aproximadamente 1, lo que coincide con la gráfica que corta al eje \( y \) cerca de \( y = 1 \))

Step2: Analizar el comportamiento asintótico

La gráfica tiene una asíntota horizontal en \( y = 1 \) (ya que se aproxima a \( y = 1 \) a la izquierda). La forma general de una función exponencial es \( y = a^{x - h}+k \), donde \( y = k \) es la asíntota horizontal. Aquí, \( k = 1 \), lo que coincide con \( y = 2^{x - 2}+1 \) (donde \( k = 1 \)) y no con las otras opciones (que tienen \( k = 2 \) o \( k = 1 \) pero la intersección con el eje \( y \) no coincide).

Step3: Verificar puntos adicionales (opcional)

Tomemos \( x = 2 \): para \( y = 2^{x - 2}+1 \), \( y = 2^{0}+1 = 2 \), que está en la gráfica (la gráfica pasa por \( (2, 2) \) aproximadamente).

Answer:

D. \( y = 2^{x - 2}+1 \)