Question

(8 points) résolvez chaque inéquation.
a) \\(-2|3x - 7| + 28 < 6\\)
b) \\(-3\sqrt{x + 1} - 5 \geq -8\\)
c) \\(\frac{-8}{2x + 9} - 4 < 1\\)

Explanation:

Partie a) : Résolution de \(-2|3x - 7| + 28 < 6\)

Step 1: Isoler la valeur absolue

On commence par isoler l'expression avec la valeur absolue. On soustrait 28 des deux côtés de l'inéquation :

$$ -2|3x - 7| + 28 - 28 < 6 - 28 $$

$$ -2|3x - 7| < -22 $$

Ensuite, on divise les deux côtés par \(-2\). Rappelez-vous que diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité :

$$ \frac{-2|3x - 7|}{-2} > \frac{-22}{-2} $$

$$ |3x - 7| > 11 $$

Step 2: Résoudre l'inéquation à valeur absolue

L'inéquation \(|A| > B\) (où \(B > 0\)) est équivalente à \(A > B\) ou \(A < -B\). Ici, \(A = 3x - 7\) et \(B = 11\), donc :

$$ 3x - 7 > 11 \quad \text{ou} \quad 3x - 7 < -11 $$

Cas 1: \(3x - 7 > 11\)

On ajoute 7 des deux côtés :

$$ 3x - 7 + 7 > 11 + 7 $$

$$ 3x > 18 $$

On divise par 3 :

$$ x > 6 $$

Cas 2: \(3x - 7 < -11\)

On ajoute 7 des deux côtés :

$$ 3x - 7 + 7 < -11 + 7 $$

$$ 3x < -4 $$

On divise par 3 :

$$ x < -\frac{4}{3} $$

Step 1: Isoler la racine carrée

On commence par isoler l'expression avec la racine carrée. On ajoute 5 des deux côtés de l'inéquation :

$$ -3\sqrt{x + 1} - 5 + 5 \geq -8 + 5 $$

$$ -3\sqrt{x + 1} \geq -3 $$

Ensuite, on divise les deux côtés par \(-3\). Rappelez-vous que diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité :

$$ \frac{-3\sqrt{x + 1}}{-3} \leq \frac{-3}{-3} $$

$$ \sqrt{x + 1} \leq 1 $$

Step 2: Résoudre l'inéquation avec la racine carrée

Pour une racine carrée, on doit avoir \(x + 1 \geq 0\) (car la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie dans les réels) et \(\sqrt{x + 1} \leq 1\). On élève les deux côtés au carré (en sachant que si \(a \leq b\) et \(a, b \geq 0\), alors \(a^2 \leq b^2\)) :

$$ (\sqrt{x + 1})^2 \leq 1^2 $$

$$ x + 1 \leq 1 $$

On soustrait 1 des deux côtés :

$$ x + 1 - 1 \leq 1 - 1 $$

$$ x \leq 0 $$

Et on doit aussi avoir \(x + 1 \geq 0\) (car la racine carrée est définie seulement pour des nombres non négatifs) :

$$ x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 $$

Step 1: Isoler la fraction

On commence par isoler la fraction. On ajoute 4 des deux côtés de l'inéquation :

$$ \frac{-8}{2x + 9} - 4 + 4 < 1 + 4 $$

$$ \frac{-8}{2x + 9} < 5 $$

Step 2: Traiter la fraction

On réécrit l'inéquation en déplaçant 5 à gauche :

$$ \frac{-8}{2x + 9} - 5 < 0 $$

On combine les termes sur un même dénominateur :

$$ \frac{-8 - 5(2x + 9)}{2x + 9} < 0 $$

On développe et simplifie le numérateur :

$$ \frac{-8 - 10x - 45}{2x + 9} < 0 $$

$$ \frac{-10x - 53}{2x + 9} < 0 $$

On peut factoriser \(-1\) du numérateur (ce qui inverse le signe du numérateur) :

$$ \frac{-(10x + 53)}{2x + 9} < 0 \implies \frac{10x + 53}{2x + 9} > 0 $$

(Car \(\frac{-A}{B} < 0 \iff \frac{A}{B} > 0\))

Step 3: Trouver les valeurs critiques et tester les intervalles

Les valeurs critiques sont les valeurs qui rendent le numérateur ou le dénominateur égal à zéro :

• Numérateur : \(10x + 53 = 0 \implies x = -\frac{53}{10} = -5.3\)
• Dénominateur : \(2x + 9 = 0 \implies x = -\frac{9}{2} = -4.5\) (mais \(x = -4.5\) rend le dénominateur nul, donc il n'est pas dans le domaine)

Les intervalles à tester sont :

1. \( (-\infty, -5.3) \)
2. \( (-5.3, -4.5) \)
3. \( (-4.5, +\infty) \)

Tester \( (-\infty, -5.3) \) : Prendre \(x = -6\)

$$ \frac{10(-6) + 53}{2(-6) + 9} = \frac{-60 + 53}{-12 + 9} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} > 0 $$

Donc l'inéquation est vraie ici.

Tester \( (-5.3, -4.5) \) : Prendre \(x = -5\)

$$ \frac{10(-5) + 53}{2(-5) + 9} = \frac{-50 + 53}{-10 + 9} = \frac{3}{-1} = -3 < 0 $$

Donc l'inéquation est fausse ici.

Tester \( (-4.5, +\infty) \) : Prendre \(x = 0\)

$$ \frac{10(0) + 53}{2(0) + 9} = \frac{53}{9} > 0 $$

Donc l'inéquation est vraie ici.

On doit aussi exclure \(x = -4.5\) (car le dénominateur est nul) et \(x = -5.3\) (car le numérateur est nul, et \(\frac{0}{B} = 0\) n'est pas \(> 0\)).

Answer:

(Partie a):
La solution de l'inéquation \(-2|3x - 7| + 28 < 6\) est \(x < -\frac{4}{3}\) ou \(x > 6\), c'est-à-dire \( \boldsymbol{(-\infty, -\frac{4}{3}) \cup (6, +\infty)} \)

Partie b) : Résolution de \(-3\sqrt{x + 1} - 5 \geq -8\)