Question

log_{27}(5x - 1)^3 - log_{3}(3x - 5) = 2

Explanation:

Step1: Simplificar el logaritmo base 27

Recordemos que \( \log_{a^n} b^m=\frac{m}{n}\log_a b \). Aquí, \( a = 3 \), \( n = 3 \) (porque \( 27 = 3^3 \)) y \( b=(5x - 1) \), \( m = 3 \). Entonces:
\( \log_{27}(5x - 1)^3=\log_{3^3}(5x - 1)^3=\frac{3}{3}\log_3(5x - 1)=\log_3(5x - 1) \)

Step2: Reescribir la ecuación

Sustituyendo en la ecuación original \( \log_{27}(5x - 1)^3-\log_3(3x - 5)=2 \), tenemos:
\( \log_3(5x - 1)-\log_3(3x - 5)=2 \)

Step3: Aplicar la propiedad de logaritmos \( \log_a M-\log_a N=\log_a\frac{M}{N} \)

Así, la ecuación se convierte en:
\( \log_3\frac{5x - 1}{3x - 5}=2 \)

Step4: Convertir el logaritmo a su forma exponencial

Recordemos que \( \log_a b = c \) es equivalente a \( a^c = b \). Entonces, para \( a = 3 \), \( c = 2 \) y \( b=\frac{5x - 1}{3x - 5} \):
\( 3^2=\frac{5x - 1}{3x - 5} \)
\( 9=\frac{5x - 1}{3x - 5} \)

Step5: Resolver la ecuación lineal

Multiplicar ambos lados por \( 3x - 5 \) (teniendo en cuenta que \( 3x - 5
eq0\Rightarrow x
eq\frac{5}{3} \)):
\( 9(3x - 5)=5x - 1 \)
\( 27x - 45 = 5x - 1 \)
Restar \( 5x \) de ambos lados:
\( 22x - 45=-1 \)
Sumar 45 a ambos lados:
\( 22x = 44 \)
Dividir por 22:
\( x = 2 \)

Step6: Verificar la solución

Comprobamos si \( x = 2 \) satisface las condiciones de definición de los logaritmos:

• Para \( \log_{27}(5x - 1)^3 \): \( 5x - 1=5(2)-1 = 9>0 \), entonces \( (5x - 1)^3>0 \) y la base 27>0, 27≠1.
• Para \( \log_3(3x - 5) \): \( 3x - 5=3(2)-5 = 1>0 \), y la base 3>0, 3≠1.

Así, \( x = 2 \) es una solución válida.

Answer:

\( x = 2 \)