Question

guided practice
answer the following question given the equation of an exponential function ( y = ab^{x - h} + k ).
if the parent function is ( y = 0.5^x ), which is the function of the graph?
a. ( y = -0.5^{x - 3} + 1 )
b. ( y = 0.5^{x - 3} + 1 )
c. ( y = -0.5^{x + 3} - 1 )
d. ( y = 0.5^{x - 3} - 1 )

Explanation:

Step1: Analizar la reflexión vertical

La función padre es \( y = 0.5^x \), que es una función decreciente. La gráfica dada parece ser una reflexión vertical de la función padre (ya que la forma de la curva sugiere un cambio de signo en la base o en el coeficiente). Entonces, el coeficiente \( a \) en la forma \( y = ab^{x - h}+k \) debería ser negativo. Esto descarta las opciones B (\( y = 0.5^{x - 3}+1 \)) y D (\( y = 0.5^{x - 3}-1 \)).

Step2: Analizar la traslación horizontal y vertical

La función padre \( y = 0.5^x \) tiene su punto de interés en \( (0,1) \). La gráfica dada parece tener una traslación horizontal y vertical. Observando la ecuación general \( y = ab^{x - h}+k \), la traslación horizontal es \( h \) y la vertical es \( k \). La opción A es \( y=-0.5^{x - 3}+1 \), lo que significa una traslación horizontal de 3 unidades a la derecha (\( h = 3 \)) y una traslación vertical de 1 unidad hacia arriba (\( k = 1 \)). La opción C es \( y=-0.5^{x + 3}-1 \), que es una traslación horizontal de 3 unidades a la izquierda y vertical de 1 unidad hacia abajo, lo que no coincide con la gráfica. Entonces, la opción A es la correcta.

Answer:

A. \( y = -0.5^{x - 3}+1 \)