Question

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use the ^ symbol (shift+6 on the keyboard) to signify an exponent. for example, for 2 to the third power, enter 2^3.
let f(x) = 6x² + 7x - 5 and g(x) = 2x - 1. for \\(\frac{f}{g}\\), \\(x \
eq \frac{1}{2}\\)
find \\(\frac{f}{g}\\).

Explanation:

Step1: Factorizar \( f(x) \)

Tenemos \( f(x) = 6x^2 + 7x - 5 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 6 \times (-5) = -30 \) y sumados den \( 7 \). Estos números son \( 10 \) y \( -3 \). Reescribimos el término \( 7x \):
\( 6x^2 + 10x - 3x - 5 \)
Agrupamos y factorizamos:
\( (6x^2 + 10x) + (-3x - 5) = 2x(3x + 5) - 1(3x + 5) = (2x - 1)(3x + 5) \)

Step2: Dividir \( f(x) \) por \( g(x) \)

Sabemos que \( g(x) = 2x - 1 \) y \( f(x) = (2x - 1)(3x + 5) \). Entonces:
\( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(2x - 1)(3x + 5)}{2x - 1} \)
Cancelamos el factor común \( 2x - 1 \) (recordando que \( x
eq \frac{1}{2} \) para que el denominador no sea cero):
\( \frac{f(x)}{g(x)} = 3x + 5 \)

Answer:

\( 3x + 5 \)