Question

1. determine a função \\(y = y(x)\\), \\(x \in \mathbb{r}\\), tal que:

a) \\(\frac{dy}{dx} = 3x - 1\\) e \\(y(0) = 2\\)
b) \\(\frac{dy}{dx} = x^3 - x + 1\\) e \\(y(1) = 1\\)
c) \\(\frac{dy}{dx} = \cos x\\) e \\(y(0) = 0\\)
d) \\(\frac{dy}{dx} = \text{sen } 3x\\) e \\(y(0) = 1\\)

Explanation:

Identificar o problema geral

O objetivo é resolver problemas de valor inicial (PVIs) da forma:

$$ \frac{dy}{dx} = f(x), \quad y(x_0) = y_0 $$

Para encontrar \(y(x)\), integramos \(f(x)\) e usamos a condição inicial para determinar a constante de integração \(K\).

Resolver o item a)

Dada a equação diferencial:

$$ \frac{dy}{dx} = 3x - 1, \quad y(0) = 2 $$

Integramos a função:

$$ y(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + K $$

Aplicamos a condição inicial \(y(0) = 2\):

$$ y(0) = \frac{3(0)^2}{2} - 0 + K = 2 \implies K = 2 $$

Portanto, a solução é:

$$ y(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 2 $$

Resolver o item b)

Dada a equação diferencial:

$$ \frac{dy}{dx} = x^3 - x + 1, \quad y(1) = 1 $$

Integramos a função:

$$ y(x) = \int (x^3 - x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x + K $$

Aplicamos a condição inicial \(y(1) = 1\):

$$ y(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} + 1 + K = 1 $$

$$ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 + K = 1 \implies \frac{3}{4} + K = 1 \implies K = \frac{1}{4} $$

Portanto, a solução é:

$$ y(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{4} $$

Resolver o item c)

Dada a equação diferencial:

$$ \frac{dy}{dx} = \cos(x), \quad y(0) = 0 $$

Integramos a função:

$$ y(x) = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + K $$

Aplicamos a condição inicial \(y(0) = 0\):

$$ y(0) = \sin(0) + K = 0 \implies K = 0 $$

Portanto, a solução é:

$$ y(x) = \sin(x) $$

Resolver o item d)

Dada a equação diferencial:

$$ \frac{dy}{dx} = \sin(3x), \quad y(0) = 1 $$

Integramos a função utilizando substituição simples:

$$ y(x) = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + K $$

Aplicamos a condição inicial \(y(0) = 1\):

$$ y(0) = -\frac{\cos(0)}{3} + K = 1 \implies -\frac{1}{3} + K = 1 \implies K = \frac{4}{3} $$

Portanto, a solução é:

$$ y(x) = -\frac{\cos(3x)}{3} + \frac{4}{3} $$

Answer:

Question a

$$ y(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 2 $$

Question b

$$ y(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{4} $$

Question c

$$ y(x) = \sin(x) $$

Question d

$$ y(x) = -\frac{\cos(3x)}{3} + \frac{4}{3} $$