Question

1. on appuie une échelle de 10 m contre un mur. si le pied de léchelle glisse et séloigne du mur à la vitesse de 2 m/s, à quelle vitesse le sommet de léchelle descend-il le long du mur lorsquil est à 6 m au-dessus du sol?

Explanation:

Step1: Définir les variables

Soit \(x\) la distance du pied de l'échelle au mur, \(y\) la distance du sommet de l'échelle au sol. On a \(x^{2}+y^{2}=10^{2}\) (théorème de Pythagore).

Step2: Différencier par rapport au temps \(t\)

Différenciation de \(x^{2}+y^{2}=100\) donne \(2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0\).

Step3: Trouver \(x\)

Quand \(y = 6\), \(x=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\).

Step4: Substituer les valeurs

On sait que \(\frac{dx}{dt}=2\), \(x = 8\), \(y = 6\). Substituer dans \(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0\) donne \(8\times2+6\times\frac{dy}{dt}=0\).

Step5: Résoudre pour \(\frac{dy}{dt}\)

\(16+6\frac{dy}{dt}=0\) \(\Rightarrow\) \(6\frac{dy}{dt}=-16\) \(\Rightarrow\) \(\frac{dy}{dt}=-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}\)

Answer:

Le sommet de l'échelle descend à la vitesse de \(\frac{8}{3}\) m/s.