Question

answer the questions below about the quadratic function.
$f(x) = 3x^2 - 30x + 71$
(a) does the function have a minimum or maximum value?
minimum
maximum
(b) where does the minimum or maximum value occur?
$x = \square$
(c) what is the functions minimum or maximum value?
$\square$

Explanation:

Step1: Analizar la parábola (coeficiente \(a\))

La función es \(f(x) = 3x^2 - 30x + 71\). Para una función cuadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), si \(a>0\), la parábola abre hacia arriba, por lo que tiene un mínimo. Aquí, \(a = 3>0\), así que tiene mínimo.

Step2: Encontrar el vértice (x - coordenada)

La fórmula para la x - coordenada del vértice de \(f(x)=ax^2+bx+c\) es \(x = -\frac{b}{2a}\). Aquí, \(a = 3\) y \(b=-30\). Entonces:
\(x = -\frac{-30}{2\times3}=\frac{30}{6} = 5\)

Step3: Encontrar el valor mínimo (y - coordenada)

Sustituir \(x = 5\) en \(f(x)\):
\(f(5)=3(5)^2-30(5)+71=3\times25 - 150 + 71=75-150 + 71= - 75 + 71=-4\)

Answer:

(a) Minimum
(b) \(x = 5\)
(c) The minimum value is \(-4\)