Question

f(x) = -2x² - 12x - 18; g(x) = x² + 3x - 4; h(x) = x² + 12x + 35; k(x) = -x² + 8x - 16

Explanation:

Step1: Analizar la dirección de la parábola (coeficiente \( a \))

Para una función cuadrática \( y = ax^2 + bx + c \):

• Si \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba ( forma \( \cup \) ).
• Si \( a < 0 \), la parábola abre hacia abajo ( forma \( \cap \) ).

Función \( f(x) = -2x^2 - 12x - 18 \):

\( a = -2 < 0 \), abre hacia abajo.

Función \( g(x) = x^2 + 3x - 4 \):

\( a = 1 > 0 \), abre hacia arriba.

Función \( h(x) = x^2 + 12x + 35 \):

\( a = 1 > 0 \), abre hacia arriba.

Función \( k(x) = -x^2 + 8x - 16 \):

\( a = -1 < 0 \), abre hacia abajo.

Step2: Encontrar el vértice (para confirmar)

La fórmula del vértice de \( y = ax^2 + bx + c \) es \( x = -\frac{b}{2a} \), luego sustituir para encontrar \( y \).

Para \( g(x) = x^2 + 3x - 4 \):

\( x = -\frac{3}{2(1)} = -1.5 \). \( y = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25 \). Vértice en \( (-1.5, -6.25) \).

Para \( h(x) = x^2 + 12x + 35 \):

\( x = -\frac{12}{2(1)} = -6 \). \( y = (-6)^2 + 12(-6) + 35 = 36 - 72 + 35 = -1 \). Vértice en \( (-6, -1) \).

Para \( f(x) = -2x^2 - 12x - 18 \):

\( x = -\frac{-12}{2(-2)} = -\frac{-12}{-4} = -3 \). \( y = -2(-3)^2 - 12(-3) - 18 = -18 + 36 - 18 = 0 \). Vértice en \( (-3, 0) \).

Para \( k(x) = -x^2 + 8x - 16 \):

\( x = -\frac{8}{2(-1)} = 4 \). \( y = -(4)^2 + 8(4) - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \). Vértice en \( (4, 0) \).

Step3: Coincidir con los gráficos

• Gráficos que abren hacia arriba ( \( a > 0 \) ): \( g(x) \) y \( h(x) \).
• \( g(x) \) tiene vértice en \( (-1.5, -6.25) \) (gráfico de la parte superior derecha, ya que su vértice está en \( x \) negativo y \( y \) negativo).
• \( h(x) \) tiene vértice en \( (-6, -1) \) (gráfico de la parte superior izquierda, vértice en \( x = -6 \) ).
• Gráficos que abren hacia abajo ( \( a < 0 \) ): \( f(x) \) y \( k(x) \).
• \( f(x) \) tiene vértice en \( (-3, 0) \) (gráfico de la parte inferior izquierda, vértice en \( x = -3 \) ).
• \( k(x) \) tiene vértice en \( (4, 0) \) (gráfico de la parte inferior derecha, vértice en \( x = 4 \) ).

Answer:

• Gráfico superior izquierdo: \( h(x) = x^2 + 12x + 35 \) (abre arriba, vértice en \( x = -6 \))
• Gráfico superior derecho: \( g(x) = x^2 + 3x - 4 \) (abre arriba, vértice en \( x = -1.5 \))
• Gráfico inferior izquierdo: \( k(x) = -x^2 + 8x - 16 \) (abre abajo, vértice en \( x = 4 \))
• Gráfico inferior derecho: \( f(x) = -2x^2 - 12x - 18 \) (abre abajo, vértice en \( x = -3 \))

(Nota: Ajusta según la posición exacta del vértice y la dirección. Por ejemplo, si el gráfico inferior izquierdo tiene vértice en \( x = 3 \) o \( 4 \), corrige. El proceso es basado en el coeficiente \( a \) y el vértice.)