Question

1. (25 points) a rectangular pen for a pet is under construction using 100 feet of fencing.

(a) express the area a of the rectangular pen as a function of x, where x is the length of the pen.
(b) for what value of x is the area the largest?
(c) what is the maximum area?

Explanation:

Step1: 确定矩形的宽

已知矩形周长\(P = 100\)英尺，长为\(x\)，设宽为\(y\)。根据矩形周长公式\(P = 2(x + y)\)，代入\(P = 100\)，得\(100 = 2(x + y)\)，化简得\(x + y = 50\)，所以\(y = 50 - x\)。

Step2: 表示面积函数

矩形面积公式为\(A = x\times y\)，将\(y = 50 - x\)代入，得\(A(x)=x(50 - x)= -x^{2}+50x\)，其中\(0\lt x\lt50\)（因为长和宽为正）。

Step3: 求面积最大时的\(x\)

对于二次函数\(A(x)=ax^{2}+bx + c\)（\(a
eq0\)），当\(a\lt0\)时，顶点在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最大值。这里\(a = -1\)，\(b = 50\)，所以\(x = -\frac{50}{2\times(-1)} = 25\)。

Step4: 求最大面积

将\(x = 25\)代入面积函数\(A(x)= -x^{2}+50x\)，得\(A(25)=-(25)^{2}+50\times25 = -625 + 1250 = 625\)平方英尺。

Answer:

(a) 面积函数为\(A(x)= -x^{2}+50x\)（\(0\lt x\lt50\)）；(b) 当\(x = 25\)英尺时面积最大；(c) 最大面积为\(625\)平方英尺。