Question

1. log (2⁴/5)

Explanation:

Step1: Identificar la propiedad del logaritmo

Usamos la propiedad del logaritmo: $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$. Aquí, $b = 5$, $x = 2^4$ y $y = 5$ (suponiendo que el denominador es 5, ya que la notación es $\log_5 \frac{2^4}{5}$). Entonces, $\log_5 \frac{2^4}{5} = \log_5 2^4 - \log_5 5$.

Step2: Aplicar la propiedad de la potencia y el logaritmo de la base

Usamos la propiedad $\log_b a^n = n \log_b a$ para $\log_5 2^4$, lo que da $4 \log_5 2$. Además, $\log_b b = 1$, así que $\log_5 5 = 1$. Entonces, la expresión se convierte en $4 \log_5 2 - 1$.

Si se desea simplificar más o evaluar numéricamente, se puede usar la cambio de base: $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$. Entonces, $\log_5 2 = \frac{\ln 2}{\ln 5} \approx \frac{0.6931}{1.6094} \approx 0.4307$. Luego, $4 \times 0.4307 - 1 \approx 1.7228 - 1 = 0.7228$. Pero si la expresión es $\log_5 (2^4)$ (quizás un error de notación), entonces $\log_5 16 = \frac{\ln 16}{\ln 5} = \frac{4 \ln 2}{\ln 5} \approx \frac{4 \times 0.6931}{1.6094} \approx \frac{2.7724}{1.6094} \approx 1.722$. Pero asumiendo la notación original $\log_5 \frac{2^4}{5}$, la simplificación algebraica es $4 \log_5 2 - 1$.

Answer:

Si la expresión es $\log_5 \frac{2^4}{5}$, la simplificación es $4 \log_5 2 - 1$ o aproximadamente $0.7228$. Si la expresión es $\log_5 2^4$ (error de notación), entonces es $4 \log_5 2 \approx 1.722$.