Question

the daily profit of a bicycle store can be modeled by $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x + 2$ where $x$ is the number of bicycles sold. let $g(x)=f(x + 4)$. find the rule for $g$, and explain the meaning of the transformation in terms of daily profit.
$g(x)=x^{3}+7x^{2}+10x - 6$
the shop makes the same profit after selling 4 fewer bicycles.
$g(x)=x^{3}+7x^{2}+10x - 6$
the shop makes the same profit after selling 4 more bicycles.
$g(x)=x^{3}-5x^{2}+2x + 6$
the shop makes the same profit after selling 4 fewer bicycles.
$g(x)=x^{3}-5x^{2}+2x + 6$
the shop makes the same profit after selling 4 fewer bicycles.

Explanation:

Step1: Sustituir \(x\) por \(x + 4\) en \(f(x)\)

Dado \(f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x + 2\), entonces \(g(x)=f(x + 4)=(x + 4)^{3}-5(x + 4)^{2}+2(x + 4)+2\).

Step2: Expandir \((x + 4)^{3}\)

Usando la fórmula \((a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\), con \(a=x\) y \(b = 4\), tenemos \((x + 4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64\).

Step3: Expandir \(-5(x + 4)^{2}\)

Usando la fórmula \((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}\), con \(a=x\) y \(b = 4\), tenemos \(-5(x + 4)^{2}=-5(x^{2}+8x + 16)=-5x^{2}-40x-80\).

Step4: Expandir \(2(x + 4)\)

\(2(x + 4)=2x+8\).

Step5: Sumar todos los términos

\(g(x)=(x^{3}+12x^{2}+48x+64)+(-5x^{2}-40x-80)+(2x + 8)+2\)
\(g(x)=x^{3}+(12x^{2}-5x^{2})+(48x-40x + 2x)+(64-80 + 8+2)\)
\(g(x)=x^{3}+7x^{2}+10x-6\).

En términos de transformación, si \(y = f(x)\) y \(y = g(x)=f(x + 4)\), la gráfica de \(y = g(x)\) es la gráfica de \(y = f(x)\) desplazada 4 unidades hacia la izquierda. En el contexto del beneficio diario, si \(x\) es el número de bicicletas vendidas, para obtener el mismo beneficio \(g(x)=f(x + 4)\), el valor de \(x\) para \(g(x)\) debe ser 4 unidades menor que el valor de \(x\) para \(f(x)\). Esto significa que el shop hace el mismo beneficio después de vender 4 bicicletas menos.

Answer:

\(g(x)=x^{3}+7x^{2}+10x - 6\), The shop makes the same profit after selling 4 fewer bicycles.