Question

the scores on the push - up portion of a physical fitness test had a mean of 62 and a median of 60. one athlete was absent during the test, and his score was not included in the calculations. if his score of 67 were added to the distribution of scores, what would happen to the mean and median?
the mean would increase and the median would decrease.
the mean would increase and the median would stay about the same.
the mean would decrease and the median would stay about the same.
the mean would decrease and the median would increase.

Explanation:

Step1: Analizar el efecto en la media

La media se calcula como la suma de todos los valores dividida por el número de valores. La media original es \(62\). El nuevo valor es \(67\), que es mayor que la media original (\(67>62\)). Al agregar un valor mayor que la media, la nueva media aumentará. Matemáticamente, si la suma original de \(n\) valores es \(S\) (entonces \(S/n = 62\)), la nueva media será \(\frac{S + 67}{n+1}\). Como \(67>62\), \(\frac{S + 67}{n+1}=\frac{n\times62+67}{n + 1}=\frac{62n+62 + 5}{n + 1}=62+\frac{5}{n + 1}>62\).

Step2: Analizar el efecto en la mediana

La mediana es el valor central cuando los datos se ordenan. El valor original de la mediana es \(60\). El nuevo valor \(67\) es mayor que la mediana. Si la cantidad de datos originales es \(n\) (impar o par), al agregar un nuevo valor (\(n+1\) datos), si \(n\) era par, la mediana era el promedio de los \(\frac{n}{2}\) -ésimo y \((\frac{n}{2}+1)\) -ésimo valores ordenados; si \(n\) era impar, la mediana era el \(\frac{n + 1}{2}\) -ésimo valor. Al agregar \(67\) (un valor mayor que la mediana original \(60\)), el ordenamiento de la mayoría de los valores cercanos a la mediana no cambiará significativamente. Por ejemplo, si teníamos \(n\) valores y la mediana era el valor en la posición \(k\) (ordenados), al agregar un valor mayor que la mediana, la nueva posición de la mediana (para \(n+1\) valores) estará cerca de la posición original si \(n\) es grande.

Answer:

The mean would increase and the median would stay about the same.