Question

1. \\(x^2 = 6x - 9\\)

1. \\(-x^2 = 8x + 20\\)

Explanation:

⚡ Usando lo que aprendiste: graphing quadratic functions · factoring trinomials

Step 1: Resolver la ecuación 7

Reescribimos la ecuación \( x^2 = 6x - 9 \) en su forma estándar \( ax^2 + bx + c = 0 \):

$$ x^2 - 6x + 9 = 0 $$

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:

$$ (x - 3)^2 = 0 $$

$$ x = 3 $$

La solución (raíz o intersección con el eje \( x \)) es \( x = 3 \). El vértice de la parábola asociada \( y = x^2 - 6x + 9 \) se encuentra en \( (3, 0) \).

Step 2: Resolver la ecuación 8

Reescribimos la ecuación \( -x^2 = 8x + 20 \) en su forma estándar:

$$ -x^2 - 8x - 20 = 0 $$

Multiplicamos por \( -1 \) para simplificar:

$$ x^2 + 8x + 20 = 0 $$

Calculamos el discriminante \( D = b^2 - 4ac \) para determinar las raíces:

$$ D = 8^2 - 4(1)(20) = 64 - 80 = -16 $$

Como el discriminante es negativo, no existen soluciones reales (la parábola \( y = -x^2 - 8x - 20 \) no corta el eje \( x \)).

Para graficarla, encontramos su vértice usando \( x = -\frac{b}{2a} \) en la función original:

$$ x = -\frac{8}{2(-1)} = -4 $$

Evaluamos \( x = -4 \) para obtener la coordenada \( y \) del vértice:

$$ y = -(-4)^2 - 8(-4) - 20 = -16 + 32 - 20 = -4 $$

El vértice está en \( (-4, -4) \) y la parábola se abre hacia abajo.

Answer:

• Problema 7: La solución es \( x = 3 \). La gráfica es una parábola con vértice en \( (3, 0) \) que se abre hacia arriba.
• Problema 8: No tiene soluciones reales. La gráfica es una parábola con vértice en \( (-4, -4) \) que se abre hacia abajo y no cruza el eje \( x \).