Question

manufacturing an electronics manufacturer can model their profits in dollars $p$ when they sell $x$ video players by using the function $p(x) = -0.1x^2 + 75x - 1000$. how many video players can they sell so they make $\\$7500$ or less? the company will make $\\$7500$ or less if they make \boxed{} video players or fewer and/or \boxed{} video players or more.

Explanation:

Step1: Establecer la desigualdad

Tenemos la función de utilidad \( P(x) = -0.1x^2 + 75x - 1000 \) y queremos \( P(x) \leq 7500 \). Entonces:
\( -0.1x^2 + 75x - 1000 \leq 7500 \)
Restamos 7500 de ambos lados:
\( -0.1x^2 + 75x - 8500 \leq 0 \)
Multiplicamos ambos lados por -10 (para eliminar el decimal y cambiar la desigualdad):
\( x^2 - 750x + 85000 \geq 0 \)

Step2: Resolver la ecuación cuadrática

Resolvamos \( x^2 - 750x + 85000 = 0 \) usando la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1 \), \( b = -750 \), \( c = 85000 \).
Primero, calculamos el discriminante:
\( \Delta = (-750)^2 - 4(1)(85000) = 562500 - 340000 = 222500 \)
Tomamos la raíz cuadrada de 222500: \( \sqrt{222500} = 471.7 \) (aproximadamente)
Entonces:
\( x = \frac{750 \pm 471.7}{2} \)
Calculamos las dos soluciones:
\( x_1 = \frac{750 + 471.7}{2} = \frac{1221.7}{2} \approx 610.85 \)
\( x_2 = \frac{750 - 471.7}{2} = \frac{278.3}{2} \approx 139.15 \)

Step3: Analizar la desigualdad cuadrática

La parábola \( y = x^2 - 750x + 85000 \) abre hacia arriba (ya que \( a = 1 > 0 \)). Entonces, la desigualdad \( y \geq 0 \) se cumple cuando \( x \leq 139.15 \) o \( x \geq 610.85 \). Redondeando a números enteros (ya que no se puede vender una fracción de un reproductor de video), tenemos \( x \leq 139 \) o \( x \geq 611 \).

Answer:

139, 611