Question

introducen una población inicial de 80 peces en un lago. esta población de peces crece de acuerdo a un modelo de crecimiento exponencial continuo. hay 216 peces en el lago después de 13 años.
(a) sea ( t ) el tiempo (en años) que ha transcurrido desde que se introdujo la población inicial y sea ( y ) la cantidad de peces en relación al tiempo ( t ).
escribir una fórmula que relacione ( y ) con ( t ).
utilizar expresiones exactas para llenar las partes de la fórmula que faltan. no se usan aproximaciones.
( y = square e^{square t} )
(b) ¿cuántos peces hay 18 años después de que se introdujo la población inicial?
sin redondear los cálculos intermedios, redondear la respuesta al número natural más cercano.
peces

Explanation:

Paso 1: Escribir la fórmula de crecimiento exponencial

La fórmula general para el crecimiento exponencial continuo es \( y = y_0e^{kt} \), donde \( y_0 \) es la población inicial, \( k \) es la tasa de crecimiento y \( t \) es el tiempo. Dado que la población inicial \( y_0 = 80 \), la fórmula se convierte en \( y = 80e^{kt} \).

Paso 2: Encontrar la tasa de crecimiento \( k \)

Sabemos que cuando \( t = 13 \), \( y = 216 \). Sustituimos estos valores en la fórmula \( 216 = 80e^{13k} \).
Dividimos ambos lados por 80: \( \frac{216}{80}=e^{13k} \), es decir \( 2.7 = e^{13k} \).
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados: \( \ln(2.7)=13k \).
Entonces \( k=\frac{\ln(2.7)}{13} \).

Paso 3: Resolver la parte (a)

La fórmula que relaciona \( y \) con \( t \) es \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}t} \).

Paso 4: Resolver la parte (b)

Para \( t = 18 \), sustituimos en la fórmula \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}\times18} \).
Primero calculamos \( \frac{\ln(2.7)}{13}\times18 \approx\frac{0.993}{13}\times18\approx 1.376 \).
Luego \( y = 80e^{1.376} \).
Como \( e^{1.376}\approx3.96 \), entonces \( y = 80\times3.96 = 316.8\approx317 \).

Respuesta:

(a) \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}t} \)
(b) \( 317 \) peces

Answer:

Paso 1: Escribir la fórmula de crecimiento exponencial

La fórmula general para el crecimiento exponencial continuo es \( y = y_0e^{kt} \), donde \( y_0 \) es la población inicial, \( k \) es la tasa de crecimiento y \( t \) es el tiempo. Dado que la población inicial \( y_0 = 80 \), la fórmula se convierte en \( y = 80e^{kt} \).

Paso 2: Encontrar la tasa de crecimiento \( k \)

Sabemos que cuando \( t = 13 \), \( y = 216 \). Sustituimos estos valores en la fórmula \( 216 = 80e^{13k} \).
Dividimos ambos lados por 80: \( \frac{216}{80}=e^{13k} \), es decir \( 2.7 = e^{13k} \).
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados: \( \ln(2.7)=13k \).
Entonces \( k=\frac{\ln(2.7)}{13} \).

Paso 3: Resolver la parte (a)

La fórmula que relaciona \( y \) con \( t \) es \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}t} \).

Paso 4: Resolver la parte (b)

Para \( t = 18 \), sustituimos en la fórmula \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}\times18} \).
Primero calculamos \( \frac{\ln(2.7)}{13}\times18 \approx\frac{0.993}{13}\times18\approx 1.376 \).
Luego \( y = 80e^{1.376} \).
Como \( e^{1.376}\approx3.96 \), entonces \( y = 80\times3.96 = 316.8\approx317 \).

Respuesta:

(a) \( y = 80e^{\frac{\ln(2.7)}{13}t} \)
(b) \( 317 \) peces