Question

fly n fast footwear, a small shoe company, produces a limited run of gold sneakers every year. research shows that if the company produces more pairs to sell, customers are willing to pay less for each pair. the company produces ( q ) pairs of sneakers, it can charge ( 320 - 2q ) dollars for each pair. this means its revenue in dollars is ( q(320 - 2q) ). the company pays $20 in materials for each pair of sneakers, and it also pays $7,200 to manufacture and ship the whole batch. this means its costs are ( 20q + 7,200 ) dollars. therefore, if fly n fast footwear makes and sells ( q ) pairs of sneakers, its profit in dollars will be ( q(320 - 2q) - (20q + 7,200) ). this expression can be simplified to ( -2q^2 + 300q - 7,200 ) and then written in factored form as ( -2(q - 30)(q - 120) ). what do the numbers 30 and 120 represent in the expression? the price fly n fast footwear can charge for each pair, and its profit in dollars, if the company makes 75 pairs of sneakers in a batch the number of pairs fly n fast footwear can make in a batch to exactly break even fly n fast footwears minimum and maximum profit in dollars the number of pairs fly n fast footwear can make in a batch to maximize its profit, and the price the company can charge for each of those pairs

Explanation:

Para resolver este problema, debemos analizar la ecuación de utilidad \( P(q) = -2q^2 + 300q - 7200 \), que se factorizó como \( -2(q - 30)(q - 120) \).

1. Entender la utilidad: La utilidad \( P(q) \) es la diferencia entre los ingresos y los costos. La ecuación de utilidad es una función cuadrática con coeficiente de \( q^2 \) negativo (\( -2 \)), lo que significa que la parábola se abre hacia abajo. Por lo tanto, el vértice de la parábola representa el punto de máxima utilidad.

1. Puntos de equilibrio (break - even): Los puntos de equilibrio ocurren cuando la utilidad es cero, es decir, \( P(q)=0 \). Resolviendo \( -2(q - 30)(q - 120)=0 \), obtenemos \( q - 30 = 0 \) o \( q - 120 = 0 \), lo que da \( q = 30 \) o \( q = 120 \). Estos valores representan la cantidad de pares de zapatos que la empresa debe producir para que la utilidad sea cero (es decir, no gana ni pierde dinero), es decir, los puntos de equilibrio.

Ahora, analizamos las opciones:

• Opción 1: Habla sobre el precio y la utilidad cuando se producen 75 pares. Pero 30 y 120 no están relacionados con el precio cuando \( q = 75 \) ni con la utilidad en ese punto.
• Opción 2: Dice que 30 y 120 son la cantidad de pares para ganar exactamente cero (break - even). Esto coincide con lo que encontramos al resolver \( P(q)=0 \), ya que \( q = 30 \) y \( q = 120 \) son los valores donde la utilidad es cero.
• Opción 3: 30 y 120 no representan el mínimo y máximo de utilidad en dólares, ya que la utilidad es máxima en el vértice (no en estos puntos).
• Opción 4: La cantidad para maximizar la utilidad se encuentra en el vértice de la parábola. Para una función cuadrática \( ax^2+bx + c \), el vértice está en \( q=-\frac{b}{2a} \). Aquí, \( a=-2 \) y \( b = 300 \), entonces \( q=-\frac{300}{2\times(-2)}=\frac{300}{4}=75 \). Entonces, la cantidad para maximizar la utilidad es 75, no 30 o 120.

Answer:

the number of pairs Fly 'n' Fast Footwear can make in a batch to exactly break even