Question

f(x) = -x² - 5x; g(x) = 2x² + 28x + 98; h(x) = -3x² + 18x - 24; k(x) = x² - 4x + 4

Explanation:

Step1: Analizar la parábola (abertura, vértice, raíces)

Para cada función cuadrática \( f(x)=ax^2+bx+c \):

• Si \( a>0 \), la parábola abre hacia arriba; si \( a<0 \), abre hacia abajo.
• Vértice: \( x = -\frac{b}{2a} \), luego \( y = f(-\frac{b}{2a}) \).
• Raíces: resolver \( ax^2+bx+c=0 \) (discriminante \( D = b^2 - 4ac \)).

Función \( f(x)=-x^2 - 5x \)

• \( a=-1<0 \) (abre abajo).
• Vértice: \( x = -\frac{-5}{2(-1)} = -\frac{5}{2} = -2.5 \), \( y = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25 \).
• Raíces: \( -x^2 -5x = 0 \Rightarrow x(-x -5)=0 \Rightarrow x=0 \) o \( x=-5 \).

Función \( g(x)=2x^2 + 28x + 98 \)

• \( a=2>0 \) (abre arriba).
• Vértice: \( x = -\frac{28}{2(2)} = -7 \), \( y = 2(-7)^2 + 28(-7) + 98 = 98 - 196 + 98 = 0 \).
• Raíces: \( 2x^2 +28x +98=0 \Rightarrow x^2 +14x +49=0 \Rightarrow (x+7)^2=0 \Rightarrow x=-7 \) (raíz doble).

Función \( h(x)=-3x^2 + 18x - 24 \)

• \( a=-3<0 \) (abre abajo).
• Vértice: \( x = -\frac{18}{2(-3)} = 3 \), \( y = -3(3)^2 + 18(3) -24 = -27 + 54 -24 = 3 \).
• Raíces: \( -3x^2 +18x -24=0 \Rightarrow x^2 -6x +8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2 \) o \( x=4 \).

Función \( k(x)=x^2 - 4x + 4 \)

• \( a=1>0 \) (abre arriba).
• Vértice: \( x = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \), \( y = (2)^2 -4(2) +4 = 0 \).
• Raíces: \( x^2 -4x +4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2 \) (raíz doble).

Step2: Emparejar con gráficas

• Gráfica 1 (arriba izquierda): Abre arriba, vértice en \( x=-7, y=0 \) (raíz doble). Corresponde a \( g(x) \).
• Gráfica 2 (arriba derecha): Abre abajo, vértice en \( x=-2.5, y=6.25 \), raíces en \( x=0 \) y \( x=-5 \). Corresponde a \( f(x) \).
• Gráfica 3 (abajo izquierda): Abre arriba, vértice en \( x=2, y=0 \) (raíz doble). Corresponde a \( k(x) \).
• Gráfica 4 (abajo derecha): Abre abajo, vértice en \( x=3, y=3 \), raíces en \( x=2 \) y \( x=4 \). Corresponde a \( h(x) \).

Answer:

• Arriba izquierda: \( g(x) = 2x^2 + 28x + 98 \)
• Arriba derecha: \( f(x) = -x^2 - 5x \)
• Abajo izquierda: \( k(x) = x^2 - 4x + 4 \)
• Abajo derecha: \( h(x) = -3x^2 + 18x - 24 \)